Lecture 12：函数的连续性

12.1 考察内容

• 内容
• 1. 连续性的概念；
• 2. 间断点及其分类；
• 3. 连续性的运算与性质；
• 4. 闭区间上连续函数的性质；
• 题型
• 题型一：讨论函数连续性及间断点的类型；
• 题型二：有关闭区间上连续函数性质的证明题；

12.2 连续的概念

定义： #连续性

<font color="#ccc1d9">描述：

定义 1：$\text{若 }\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0，则称y=f(x)在x_0点连续$

定义 2：设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个邻域内有定义，如果当 $x\to x_0$ 时，函数 $y=f(x)$ 的极限值存在，且等于 $x_{0}$ 处的函数值 $f(x_0)$ , 即 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$, 则称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续.

解释

• 等价形式：$\text{若 }\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\text{ 则称 }y=f(x)\text{ 在点 }x_0\text{ 处连续}.$
• 左右连续：
• 1. 左连续： $\lim_{x\to x^-_0}f(x)=f(x_0)$
• 2. 右连续： $\lim_{x\to x^+_0}f(x)=f(x_0)$
• $f(x)$ 连续的充分必要条件：$f(x)$ 左连续且右连续，左右连续相等；

内连续与外连续

• 内连续：在 $(a,b)$ 中每一点都连续；
• 外连续：在 $[a,b]$ 中每一点都连续，并且 a 点右连续，b 点左连续；

区间内连续

• 一个函数在区间内连续 = 区间上所有点都连续 = 所有的点的左右极限存在并相等，并且等于这一点的函数值；

题型： #讨论函数的连续性及间断点的类型

PART 1：解题方法

• 讨论函数的连续性时，需要描述清楚，在哪些点不连续，因为什么所以在其他区间上连续；

PART 2：典型例题

例题：$\text{已知 }f(x)=\begin{cases}(\cos x)^{1/x^2},x\neq0,\\a,&x=0&\end{cases}$，再 x=0 处连续，则求a；

• 分析
• 因为在 x=0 处连续，因此这个点的极限值存在且相 等；
• 解析
• $\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}(nx)^{\frac12}=\lim_{x\to0}[1+(ax-1)]^{\frac1{x^2}}=e^{-\frac12}=f(0)=0,$
• 题型：#

例题：$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1+x}{1+x^{{2n}}}$，讨论函数的间断点；

• 分析
• 解析
• 首先分段，得到：$f(x)=\begin{cases}1+x&|x|<1\\0&|x|>1\\1&x=1\\0&x=-1\end{cases}$
• 0 点连续，1 点不连续；
• 所以：存在间断点 x=1；
• 题型：#