Lecture 4：极限基础

4.1 极限的基本概念

• 主要是两种
• 1. 数列极限；
• 2. 函数极限；

4.1.1 数列极限

定义： #数列极限

<font color="#ccc1d9">描述：对 $\lim_{n\to\infty}x_n=a$ 而言：$\forall\varepsilon>0,\exists N>0,\text{ 当 }n>N\text{ 时, 恒有 }|x_n-a|<\varepsilon$

解释

• $\varepsilon>0$ ：函数的接近程度；
• 几何意义：$x_n$ 在 $\varepsilon$ 前后的小领域内；
• N：大 N 项之后的所有数字，都落在了 $|x_n-a|<\varepsilon$ 的范围内，而 N 是一个无穷多的项，N 之前的数字是一个有限项；
• 有限项总是有界的；
• 数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限和前有限项无关；

概念：结论 1

• $$\lim_{n\to\infty}x_n=a\Leftrightarrow\lim_{k\to\infty}x_{2k-1}\overset{\color{red}{}}{\operatorname*{=}}\lim_{k\to\infty}x_{2k}=a.$$
• 如果一个数列以 a 为极限，则其子数列都以 a 为极限；

概念：结论 2

• 1. $$\text{若 }\lim_{n\to\infty}x_n=a,\text{则}\lim_{n\to\infty}\lvert x_n\rvert=\lvert a\rvert,\text{ 但反之不成立}$$
• 2. $$\lim_{n\to\infty}x_n=0\text{ 的充分必要条件是 }\lim_{n\to\infty}|x_n|=\mathbf{0}$$

概念：结论 3

• 一个数列的子数列如果满足以下两个条件，则可以推出完整数列的值：
• 1. 子数列的值全部都相等；
• 2. 几个子数列取遍了原数列的所有情况；