Lecture 2：函数的概念及常见函数
考研数学学习笔记：Lecture 2：函数的概念及常见函数。保留原始公式、图示与例题。
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2.1 函数的基本概念
2.1.1 函数的定义
定义： 函数
描述：如果对于每个数 $x\in D$，按照一定的法则都有唯一确定的 $y$ 与之对应，则称 $y$ 是 $x$ 的函数，记为 $y=f(x)$；通常称 $x$ 为自变量，$y$ 为因变量，$D$ 为定义域。
解释
- 基本概念
- 定义域：$D_f=D.$
- 值域：$R_f=f(D)=\{y|y=f(x),x\in D\}$
- 函数的两个基本要素：
- 定义域
- 对应规则
- 只要满足两个要素，则可称两个函数相同，不用管定义域用什么符号；
- 注意：
- 一个 $x$ 只能对应一个 $y$
- 例如 $y^2=x$ 就不是函数，因为一个 $x$ 对应两个 $y.$
2.1.2 其他函数类型
取整函数
- 设 $x$ 为任意实数，不超过 $x$ 的最大整数称为 $x$ 的整数部分，记为 $[x]$。
- 函数 $y=[x]$ 称为取整函数；
2.2 其他常见函数
2.2.1 复合函数
定义： 复合函数
描述：设 $y=f(u)$ 的定义域为 $D_f$，$u=g(x)$ 的定义域为 $D_g$、值域为 $R_g$。若 $D_f\cap R_g\neq\varnothing$，则称函数 $y=f[g(x)]$ 为函数 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 的复合函数。它的定义域为 $\left\{x\mid x\in D_g,\ g(x)\in D_f\right\}$。
解释
- g：内层函数
- f：外层函数
- 核心：$D_f\cap R_g\neq\varnothing$
方法：判断两个函数是否复合
- 内层函数的值域和外层函数的定义域的相交，必须是一个非空集合；不然就不是复合函数；
易错点：注意复合函数中的值域与定义域
- 概念：
- 复合函数的定义域是 $\left\{x\mid x\in D_g,\ g(x)\in D_f\right\}$。
- 易错点：
- 把内层函数的定义域当成复合函数的定义域；
2.2.2 反函数
定义： 反函数
描述：设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$，值域为 $R_f$。若对任意 $y\in R_f$，都有唯一确定的 $x\in D$ 使得 $y=f(x)$，则由 $x=f^{-1}(y)$ 所确定的函数称为 $y=f(x)$ 的反函数。
解释
- 普通函数允许多个不同的 $x$ 对应同一个 $y$；
- 原函数存在反函数的条件是它在定义域上为一一映射，即不同的 $x$ 对应不同的 $y$；
- 概念：
- 1. $\text{有时也将}\quad y=f(x)\text{ 的反函数 }x=f^{-1}(y)\text{ 写成 }y=f^{-1}(x)$
- 2. $\text{在同一直角坐标系中，}y=f(x)\text{ 和 }x=f^{-1}(y)\text{ 的图形重合}$；
- 3. $y=f(x)\text{ 和 }y=f^{-1}(x)\text{ 的图形关于直线 }y=x\text{ 对称}$；
方法：是否有反函数
- 核心：
- 1. 对任意 $y\in R_y$ 是否有唯一确定的 $x\in D$；
- 2. 区间上的严格单调函数一定有反函数；
- 3. 区间上的严格单调函数与其反函数具有相同的单调性；
- 比如：
- $y=x^3$ 有反函数，而 $y=x^2$ 没有；
- 结论：
- 对 $\forall x_{1}\neq x_{2}\in D\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$
- 即 f 函数应该是一个一一对应的映射；
方法：求一个函数的反函数
- 例：$\text{求函数 }y=\mathbf{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}2\text{ 的反函数}.$
- 具体步骤：
- 1. 求出反解；
- 2. 将函数 y、x 对调；
2.2.3 反函数和复合函数结合
两者结合：
- 情况一：当 $x\in D$ 时，$f^{-1}[f(x)]=x$
- 普通函数传入到当前函数的反函数当中
- 情况二：当 $x\in R_f$ 时，$f[f^{-1}(x)]=x$
2.3 初等函数
2.3.1 基本初等函数定义
定义： 基本初等函数
描述：将幂函数、指数、对数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数；
解释
定义： 初等函数
描述：由
1. 常数和五类基本初等函数构成；
2. 进行的加减乘除以及复合
3. 所得到的用一个解析式表达的函数
称之为初等函数；
2.4 常考题型
题型： 复合函数
PART 1：解题方法
考法：如果是分段函数的复合
- 1. 依然是内层带入到外层；
- 2. 如果是分段时，需要根据内函数的分段（内函数的函数值，落到了外函数的哪个部分），分段的将内函数带入到对应的外函数中；
考法：如果已知复合函数以及外层函数，要求内层函数
- 1. 将复合函数的结果=外层函数套进内层函数后得到的函数；
PART 2：典型例题
例题：$\text{设 }g(x)=\begin{cases}2-x,&x\leq0,\\x+2,&x>0,\end{cases}f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0,\\-x,&x\geq0,&\end{cases}\text{则 }g[f(x)]=(\quad)$