Chapter 9：无穷级数

9.1 常数项级数

解题步骤

第一步：判断级数类型
正项、交错、任意项
第二步：根据级数，选择方法
正项级数 -> 用敛散性的五类判别法，做判定；
交错级数 -> 一个方法；
任意项级数 -> 一个方法；
第三步：如果无法做出判定，此时可以使用定义和性质来进行判定
定义和性质是适用于所有类型的级数的；

9.1.1 基本概念

定义：常数项级数收敛

$u_{1}, u_{2},\cdots u_{n},\cdots$ 表示常数项，$S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}$ 表示前 n 项的和；
若：$$\lim_{n\to+\infty}S_{n}=\sum_{n=1}^\infty u_n$$
则当前常数项数列为收敛的，若是没有极限，则是为发散的；

性质

1. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 收敛于 $S$，则 $\sum_{n=1}^{\infty}k u_n$ 收敛于 $kS$。
2. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}H_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}U_n$ 分别收敛于 $h$ 和 $u$，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(H_n\pm U_n)$ 收敛于 $h\pm u$。
3. 在级数中去掉或加上有限项，敛散性不变，值可能会变化；
4. $\sum u_n收敛，任意加括号后级数也收敛，且和不变$
5. 级数收敛的必要条件：$\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 收敛 }\longrightarrow\lim_{n\to\infty}u_n=0$

常用结论

$$\sum_{n=1}^{+\infty}|b_{n|}收敛\rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty}(b_{n})^{2}收敛$$

9.1.2 正项级数

定义：正项级数的收敛性

正项 $\sum u_n$ 收敛的充分必要条件是 ${S_n}$ 有界；
$$\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 收敛}\Leftrightarrow s_n\text{ 上有界}$$

方法：正项级数的五类方法

方法分类：
1. 比较审敛法
2. 比较法的极限形式
3. 比值法
4. 根值法
5. 积分判别法
方法选择：
第一类：方法 1、2
需要把当前的通项和其它已知通项进行比较；
优点：
适用范围更广泛；
只要是方法 3、4 可以做出判定的，方法 1、2 都一定可以做出判定，只是可能做起来更不方便；
缺点：
使用起来不方便；
第二类：方法 3、4
概念：
只需要自己就可以进行判断；
优点：
使用起来方便，不需要其他级数，自己就可以判断；
缺点：
有些时候，级数很明显可以看出来时发散的，但却很难用方法证明出来；
即：适用范围窄；
解题步骤：
1. 先观察是否可以直接看出来敛散性 -> 规律；
2. 在判断方法时，先考虑使用方法 3、4；
3. 如果做不出判定，再考虑 1、2；
规律：
三巨头：$$a^n\quad n!\quad n^n$$
如果这三巨头当中至少出现一个，通常就使用方法 3、4；
如果三巨头一个都不出现，此时经常出现的就是 $n^p$ 或者 $In{n}$ 的形式，此时就使用方法 1、2；

方法一：比较审敛法

如果 $\sum U_n$ 和 $\sum V_n$ 都是正项级数，且 $u_n<v_n$：
$$\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{ 收敛 }\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 收敛}$$
$$\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 发散 }\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{发散}$$
总结：
大的收敛，小的肯定收敛；
小的发散，大的肯定发散；
反过来都不行；
使用方法：
使用之前，先进行初步判断；
如果初步判断其为收敛，则进行放大；
如果初步判断其为发散，将进行缩小；
常用级数一：
$$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^p} \quad\quad\quad\quad\quad P>1时收敛，P<=1时发散$$
注意：
P=1 -> 调和级数： $\sum\frac{1}{n}\quad 一定发散$
为什么 P=1 时是发散的?
收敛的本质：
决定级数是否收敛的不在于求和项是否是无穷的，甚至不在于求和的大小，而是在于求和项中通项趋向于 0 的速度；
通过速度比较并不能确定一个级数发散还是收敛，但是速度变化会带来本质的变化；
常用级数二：
$$\sum_{n=1}^\infty aq^n\left(a>0,q>0\right)\quad q<1\text{ 时收敛,当 }q\geq1\text{ 时发散}.$$
等比级数是否收敛，只取决于其 q 的数值，即公比决定了其敛散性；

方法二：比较法的极限形式

设 $$\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l\left(0\leq l\leq+\infty\right)$$
若：
1. $$\text{若 }0<l<+\infty,\text{则 }\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}\text{ 与 }\sum_{n=1}^{\infty}\nu_{n}\text{ 同敛散}.$$
2. $$\text{若 }l=0\text{,则}\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{收敛 }\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 收敛,}\sum_{n=1}^\infty u_n\text{发散 }\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{发散}$$
3. $$\text{若 }l=+\infty,\text{则}\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{发散}\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 发散. }\sum_{n=1}^\infty u_n\text{收敛}\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{ 收敛}$$

方法三：比值审敛法

如果 $\sum U_n$ 是一个正项级数，则若 $$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\rho$$
如果 $\rho <1$，则 $\sum U_n$ 收敛；
如果 $\rho >1$，则 $\sum U_n$ 发散；
如果 $\rho =1$，则 $\sum U_n$ 无法判断，请使用其他方法；

方法四：根值法

$$\text{设}\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho\text{,则}\sum_{n=1}^\infty u_n\begin{cases}\text{收敛},&\rho<1,\\\\\text{发散},&\rho>1,\\\\\text{不一定},&\rho=1,\end{cases}$$

方法五：积分判别法

$$设f(x)在[1,+\infty)上单调减，非负的连续函数，且 a_{n}=f(n)，则\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\text{ 与 }\int_{1}^{+\infty}f(x)dx同敛散性$$
例题：
证明：
级数 $\sum_{i=1}^\infty\frac1{n^p}$ 当 $p>1$ 时收敛，当 $p\leq1$ 时发散；
解析
设 $a_{n}=\frac{1}{n^{p}}=f(u),f(x)=\frac{1}{x^{p}}$
所以得到积分：$\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p}}$

9.1.3 交错级数

定义：交错级数

$$\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n,u_n>0$$
$u_{1}-u_{2}+u_{3}-u_{4}+u_{5}-u_{6}+\cdots$；
$-u_{1}+u_{2}-u_{3}+u_{4}-u_{5}+u_{6}\cdots$；

注意

如果项数是无穷项时，小括号不能随便加，顺序也不能随便换；
比如：
$1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1......$
如果是奇数项 -> 结果为 1；
如果时偶数项 -> 结果为 0；
如果加括号
$(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+......$
这样对无穷项加括号，可能会有问题，因为不清楚是奇数项还是偶数项；

定理：莱布尼茨准则

描述：当前有交错级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-1\right)^{n-1}u_{n}$，当：

1）$u_{n}\geq u_{n+1}$：单调减

2）$\lim_{n\to\infty}u_{n}=0$

则可得到 $\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-1\right)^{n-1}u_{n}$ 级数收敛，S <= $u_1$，且 $|r_{n}|\leq u_{n+1}$

解释

注意：
要求：
1）$u_{n}\geq u_{n+1}$：单调减
2）$\lim_{n\to\infty}u_{n}=0$
这两个要求是交错级数收敛的充分条件，也就是说这两个里面如果有一个不成立，也有可能交错级数收敛；
前提：
使用莱布尼茨定理之前，需要保证当前是交错级数；
后一项比前一项越来越小；
且 $u_n$ 是往 0 逼近的；

9.1.4 任意项级数

任意项级数概念

特点：
有正项、有负项；
并且正项、负项都得是无限项；
任意项： $u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+\cdots$，并且 $u_n$ 的正负不知道；
正项级数：$|u_{1}|+|u_{2}|+|u_{3}|+|u_{4}|+\cdots$ ，每项都取绝对值；
这种为绝对值级数；

判断方法

原则：把新问题化成老问题 -> 把一个变号的级数，化成一个正项级数 -> 通项加一个绝对值 -> 这个新的正项级数收敛时，任意项级数也收敛；

定义：绝对收敛与条件收敛

描述：

1. 绝对收敛：如果加了绝对值的 $\sum|u_{n}|$ 收敛，则称 $\sum u_n$ 收敛；

2. 条件收敛：如果 $u_n$ 是收敛的，$\sum|u_{n}|$ 是发散的，则称 $\sum u_n$ 是条件收敛的；

具体情况：

(1) 若 $\sum^{\infty}_{n=1}=|a_n|$ 收敛，则 $\sum^{\infty}_{n=1}=a_n$ 必收敛，此时称 $\sum^{\infty}_{n=1}a_n$ 绝对收敛

(2) 若 $\sum^{\infty}_{n=1}=a_n$ 收敛，$\sum^{\infty}_{n=1}=|a_n|$ 发散，则称 $\sum^{\infty}_{n=1}a_n$ 条件收敛

解释

绝对收敛
$\sum|u_{n}|$ 收敛
$\sum u_n$ 收敛
条件收敛
$\sum|u_{n}|$ 发散
$\sum u_n$ 收敛

举例

$\sum(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$：交错调节级数 -> 收敛的；
$\sum(-1)^{n}\frac{1}{n^{3}}$：是绝对收敛的；

基本结论

1. 绝对收敛的级数，一定收敛 -> 即：$\sum^{\infty}_{n=1}|a_n|$ 收敛 -> $\sum^{\infty}_{n=1}a_n$ 收敛；
2. 条件收敛的级数的所有正项（或负项）构成的级数，一定发散 -> $$\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 条件收敛 }\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty\frac{u_n+|u_n|}2\text{ 和 }\sum_{n=1}^\infty\frac{u_n-|u_n|}2\text{ 发散}.$$

定理：任意项级数的绝对收敛

描述：如果每项都加绝对值 $\sum_{n=1}^{+\infty}|u_{n}|$ 以后，它是收敛的，则它原来的级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}$ 也是收敛的；

解释

更简单的理解：
全是正数（加绝对值）的情况下都可以收敛，那他原本有正有负的情况下就更应该是收敛的；

定理：任意项级数发散收敛判断

描述：如果 $\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots$ 是任意项级数，且 $\lim_{n\to+\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=l$

1）当 $l$ < 1 时，$\sum u_n$ 绝对收敛；

2）当 $L>1(+\infty)$ 时，$\sum u_n$ 发散；

3）当 L =1 时，无法判断；

解释

如果 L>1，则原本的级数就是发散的；

9.2 幂级数

9.2.1 幂级数基本概念

数列：每一项只和 n 有关

数列： $u_{1},u_{2},\cdots,u_{n}$
无穷级数：$u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}+\cdots$

函数列：每一项和 n 以及 $x$ 有关

假设 x 在区间 $I$ 上；
函数列： $u_{1}(x), u_{2}(x), u_{n}(x),\cdots$
函数项无穷级数：$u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots+u_{n}(x)+\cdots$

定义：幂级数

描述：

常见形式： $$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots $$

一般形式：$$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots $$

解释

概念：
每一项都是 x 的非负整数幂：幂级数： $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}+\cdots$
幂级数其实是函数项级数的最简单的一种，$x^{n}$ 就是 x 的函数，$a_n$ 就是一列数；
$a_0,a_1,a_2...a_n$ 称之为系数；
补充：
一般研究常见形式，因为一般形式可以用 $x-x_0=t$ 化成常见形式；

定义：收敛点与发散点

描述：

1. 如果 $x_{0}\in I$ 时，$u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots+u_{n}(x)+\cdots$ 收敛，则称 $x_o$ 为收敛点，如果是一段区间则称之为收敛域；

2. 如果 $x_{0}\in I$ 时，$u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots+u_{n}(x)+\cdots$ 发散，则称 $x_o$ 为发散点，如果是一段区间则称之为发散域；

3. $S\left (x\right)=u\left (x\right)+u_{2\left (x\right)}+\cdots+u_{n}\left (x\right)+\cdots$ 称之为和函数，$\lim_{n\to\infty}S_n(x)=S\left(x\right)$；

解释

一般就是求两个问题：收敛域是什么？和函数是什么？

举例

$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}+\cdots$
此时：
当 $|x|<1$ 时，收敛域为 $(-1,1)$，且 $\frac{a}{1-q}=\frac{1}{1-x}$；
当 $|x|\geq1$ 时，发散域为 $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$。

9.2.2 幂级数展开

定理：阿贝尔定理

描述：

$$\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n ，当x=x_0 时收敛,|x|<|x_0|时幂级数绝对收敛$$

$$\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n ，当x=x_0 时发散,|x|>|x_0|时幂级数发散$$

解释

定理的作用：
揭示了当前幂级数的收敛、发散的域的结构 -> 将求收敛域的问题、转化成了求整个区间一般长度的问题 -> 也就是求收敛半径 R ；
绝对收敛：
在 $|x|<|x_0|$ 时，此时在这个区间内的点，也都收敛 -> 离原点更近的点收敛；
发散：
在 $|x|>|x_0|$ 时，此时在这个区间外的点都发散 -> 离原点更远的点发散；
总结：
1. 收敛点和发散点的分界点 -> 就是收敛半径 R
2. 两个级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x+2)}^n$ 和 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x-3)}^n$，如果它们的 $a_n$ 一样，则它们有共同的收敛半径 R；
注意：
收敛区间不需要关注端点；
收敛域需要关注端点；

补充：收敛区间和收敛域

收敛区间：
$(-R,+R)$
收敛域：
包括端点在内：$\pm R$
分别判断两个端点的值后，得到的区间；

补充：关于 $x$ 不等于 $x_0$ 时的收敛域

前提：
根据 <总结-1> 可知，$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x+2)}^n$ 和 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x-3)}^n$ 的收敛半径 R 一样；
概念：
收敛区间：
对 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x+2)}$ 而言，其中心在 x=-2 点，因此假设其收敛点在 x=0 处时，其收敛半径为 0-(-2)=2 ，因此其收敛区间就是：
$$收敛区间：(x_0-R,x_0+R)\rightarrow (-2-2,-2+2)\rightarrow (-4,0)$$
端点收敛性不变性：
因为两个级数的 $a_n$ 项相同，所以这两个级数的收敛域的两个端点同敛散性；

定理：幂级数的收敛情况

描述：幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ 的收敛性有且仅有三种可能：

（1）对任何 x 属于 $(-\infty ,+\infty)$ 都收敛；

（2）只在 $x=0$ 处收敛；

（3）存在一个正数 R 当 $|x| < R$ 时绝对收敛，当 $|x|>R$ 时发散；

注意：若幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ 在点 $x=x_0$ 处条件收敛，则点 $x_0$ 必为该幂级数收敛区间 $(-R,R)$ 的一个端点；

定理：收敛半径判断

描述： $$若\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\rho，则 R = \frac{1}{{\rho}}$$

即：此时有三种情况：$$R=\begin{cases}\frac{1}{\rho},&\rho\neq0\\+\infty,&\rho=0\\0,&\rho=+\infty\end{cases}$$

解释

注意：
1. 此定理只能单方向使用；
2. 收敛区间是不管端点的，即 $(-R,R)$

定理：收敛半径判断：基于根式

描述： $$\text{如果 }\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho,\text{则}\quad R=\frac1\rho $$

解释

基于根值法推导而来；

性质：幂级数的有理运算性质

前提：
设
1. $\sum_n^{\infty}a_nx^n$ 的收敛半径为 $R_1$
2. $\sum_n^{\infty}b_nx^n$ 的收敛半径为 $R_2$
令 $R=\min\{R_1,R_2\}$，则当 $x\in(-R,R)$ 时：
运算性质：
（1）加法：$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\pm\sum_{n=0}^\infty b_nx^n=\sum_{n=0}^\infty(a_n\pm b_n)x^n$$
（2）乘法：$$(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n)\cdot(\sum_{n=0}^\infty b_nx^n)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n$$
且：$c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0$
（3）除法：$$\frac{\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}{\sum_{n=0}^\infty b_nx^n}=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n$$

性质：幂级数的分析性质

前提：
若 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}$ 的收敛半径是 R，和函数为 $S(x)$，则：
分析性质：
（1）连续性：
$S(x)$ 在它的收敛域上 $I$ 是连续的；
（2）可导性：
$S(x)$ 在 $(-R,R)$ 上可导，且可以逐项求导，半径不变，即：
$$S^{\prime}(x)=\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)^{\prime}=\sum_{n=0}^\infty(a_nx^n)^{\prime}=\sum_{n=0}^\infty na_nx^{n-1}$$
注意：这里面级数求导之后，收敛半径没有变化，还是 R，并且通项当中还多了一个 $n$
（3）可积性：
若 $\sum_{n=0}^{\pm\infty}a_{n}x^{n}$ 的和函数 $S(x)$ 在 $I$ 上是可积的，且可以逐项积分，则：
$$\int_{0}^{x}S(x)\operatorname{d}x=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\operatorname{d}x=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}a_{n}x^{n}\operatorname{d}x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}a_{n}x^{n+1}$$
注意：逐项求积分后的幂级数，与原幂级数的收敛半径是相同的；

题型：求收敛半径

两种方法：
方法一：使用收敛半径判定法
方法二：使用收敛半径根值判定法
注意：缺项时
缺项：$x^{2n-1}$ ，不是 $x^n$
缺项时不能直接使用公式，如果是 $x^{2n+b}$ ，则此时都需要将根值法算得的 R 开一个 $\frac{1}{2}$ 次方；

题型：求收敛区间

方法：
想要求得收敛区间，需要先求得收敛半径；

题型：求端点的收敛性

方法：
分别将端点的 $x=\pm x_0$ 代入进去，得到关于 n 的函数式，即：当前级数的通项。此时解题方法和常数项级数一致，根据其是正项、交错级数、任意项级数，选择方法，判定；

题型：判断任意一点的收敛性

方法：
先求出当前幂级数的收敛半径（经常要使用阿贝尔定理），然后根据收敛区间，判断任意一点是否在区间内，即可得到收敛性；

9.2.3 函数展开成幂级数

为什么需要展开成幂级数

原因：
有些函数不是初等函数、不可以直接使用积分求出来它的值，比如 $e^{x^2}$ 其无法直接求出其原函数；
此时可以考虑：将其展开成幂级数，因为幂级数的每一项都很简单，因此可以被处理；
举例：比如需要求 $e^{0.2}$ 等于多少
直接求很难算出来；
但利用展开后的幂级数，计算出来就很简单： $e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+$
后续的项可以近似得到，一般就用个三项、四项就够了；

定理：函数的幂级数展开

描述：

如果函数 $f(x)$ 在区间 $(x_0-R,x_0+R)$ 上，能展开为 $x-x_0$ 的幂级数 $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n$ 则，其展开式是唯一的；

并且称其为 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的泰勒级数：$$\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

解释

如果 $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ 可以收敛于 $f(x)$，则称其可以展开；

定理：泰勒级数的收敛性

描述：

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处任意阶可导，则：

$$\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n 在 (x_0-R,x_0+R) 上收敛于 f(x)\Leftrightarrow\lim_{n\to\infty} R_n(x)=0.$$

其中：$$\begin{aligned}&R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\text{ 为 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处的泰勒公式}\\&f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)\end{aligned}$$

所以当 $R_n(x)$ -> 0 时，$f(x)$ 趋向于泰勒级数：$\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$，即收敛于唯一的级数；

补充：几个常用的展开式

直接展开法：
（1）$$\frac1{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots =\sum^{\infty}\limits_{n=0}x^n\quad (-1<x<1)$$
（2）$$\frac1{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n,|x|<1$$
（3）$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \quad(-\infty<x<+\infty)$$
注意：求和下标从 0 开始，(-1) 是指数是 n；
（4） $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots \quad (-\infty<x<+\infty)=\sum^{\infty}\limits_{n=0}\frac{x^n}{n！}$$
间接展开法：
（1）cosx 的展开式，是由 sinx 的展开式逐项求导而的来的：$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}x^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \quad(-\infty<x<+\infty)$$
（2）In(1+x) 的展开式：$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}x^n}n+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n}\quad(-1<x\leq1)$$
（3）(1+X)的α次方 的展开式，也是间接得到的：$$\left(1+x\right)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots \quad(-1<x<1)$$
(4) $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}n=-\ln(1-x)\quad(-1\leq x<1)$$
注意：
关于下标：除了 In(1+x) 是从 n=1 开始的，其他都是从 n=0 开始的；
关于 $(-1)^{n}$ 和 $(-1)^{n+1}$：只有 In(1+x) 是 n+1 ，其他都是从 n；
关于阶乘：除了 In(1+x) 的分母是非阶乘，其他带分母的都是阶乘，并且阶乘部分和幂指部分一致；
关于收敛域：三角函数和 $e^{x}$ 是负无穷到正无穷，其他都是 -1 到 +1，并且 In(1+x) 是小于等于 +1；

9.3 傅里叶级数

定义：傅里叶系数

描述： $$a_{n}=\frac1\pi\int_{-\pi}^xf(x)\cos nx\mathrm{d}x\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=\frac1\pi\int_{-\pi}^xf(x)\sin nx\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots $$

解释

可以利用上述公式，来求给定 n 式的系数；

定义：傅里叶级数

描述： f 的傅里叶级数：$$f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

解释

概念：
以上式子是否能展开、取决于上述式子中的 ~ 是否能写成等号；
而其是否能展开、需要使用收敛定理来判断；
解释：
~
意味着除开某些有限点外（间断点、端点），其他点都符合公式中的性质；
$\frac{a_0}2$
在波动当中，表示直流分量；
$(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$：
在波动当中，表示交流分量；
注意：偶函数展开式只有余弦项，奇函数展开式只有正弦项；

定理：狄利克雷定理

描述：设 $f(x)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上连续或有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点，则 $f(x)$ 的傅里叶级数在 $[-π,π]$ 上处处收敛，且收敛于：

$$1)\quad S(x)=f(x)\quad\text{当}x\text{ 为 }f(x)\text{ 的连续点}.$$

$$2)\quad S(x)=\frac{f(x^-)+f(x^+)}2\quad\text{当 }x\text{ 为 }f(x)\text{ 的间断点}.$$

$$3)\quad S(x)=\frac{f((-\pi)^+)+f(\pi^-)}2\quad\text{当 }x=\pm\pi.$$

概念介绍：周期为 $2\pi$ 的函数展开

（1）在 $[-\pi,+\pi]$ 上展开：一般展开
$$\begin{aligned}a_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx&&(n=0,1,2,\ldots),\\b_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx&&(n=1,2,\ldots).\end{aligned}$$
（2）在 $[-\pi,+\pi]$ 的展开：奇偶函数的展开
1. $f(x)$ 为奇函数：
$$a_{n}=0\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=\frac2\pi\int_{0}^xf(x)\sin nx\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots $$
解释：因为 $cosx$ 是偶函数，并且在 $a_n$ 中，所以当 $f(x)$ 为奇函数时，奇函数*偶函数=奇函数，所以 $a_n$ 变为 0，$b_n$ 变为两倍。其他情况同理；
2. $f(x)$ 为偶函数：
$$a_{n}=\frac2\pi\int_{0}^xf(x)\cos nx\mathrm{d}x\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=0\quad\quad n=1,2\cdots $$
（3）在 $[0,+\pi]$ 上展开：展开为正弦或余弦
分析：
这种是在半个周期上的展开，所以在分析时，需要做延拓；
奇函数展开：只有正弦项。因为如果只给了 $[0,+\pi]$ ，则如果需要在 $[-\pi,+\pi]$ 上做奇函数展开、只有正弦项 -> 奇延拓；
在展开为正弦时，理论上需要做奇延拓，但实际上直接使用奇函数的展开式即可；
同理偶延拓；
1. 展开为正弦：
$$a_{n}=0\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=\frac2\pi\int_{0}^xf(x)\sin nx\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots $$
2. 展开为余弦：
$$a_{n}=\frac2\pi\int_{0}^xf(x)\cos nx\mathrm{d}x\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=0\quad\quad n=1,2\cdots $$

概念介绍：周期为 $2l$ 的函数展开

（1）在 $[-l,+l]$ 上展开
$$a_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\cos\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x\quad\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad \\b_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\sin\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots $$
（2）在 $[-l,+l]$ 上展开：奇偶函数
$$\text{i)}f(x)\text{ 为奇函数}.\quad\quad \\a_n=0,n=0,1,2\cdots\quad\quad \\b_n=\frac2l\int_0^lf(x)\sin\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots $$
$$\begin{aligned}&\text{ii)}f(x)\text{ 为偶函数}.\\&{a_n}=\frac2l\int_0^lf(x)\cos\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x&&n=0,1,2\cdots\\&b_{n}=0&&n=1,2\cdots\end{aligned}$$
（3）在 $[0,l]$ 上展开：展开为正弦或余弦
$$\begin{aligned}&\text{i)展为正弦}\\&a_{n}=0,&&n=0,1,2\cdots\\&b_{n}=\frac2l\int_0^lf(x)\sin\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x&&n=1,2\cdots\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}&\text{ii)展为余弦.}\\&a_{n}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x&n=0,1,2\cdots\\&b_{n}=0&n=1,2\cdots\end{aligned}$$