Chapter 5：定积分及反常积分 — 高等数学 - 公式合集

Chapter 5：定积分及反常积分

5.1 定积分概念

定积分定义

• 定义：
• $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，在 $[a,b]$ 上任意插入分点，分成 n 个小区间 $\Delta x_{1}\Delta x_{2}\cdots\Delta x_{n}$ ，任取一点 i，有：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{λ\to0}\sum_{x=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}$$
• 其中：$$\lambda=\max\{\Delta x_{1}\cdots\Delta x_{n}\}$$
• 定积分存在性：
• 条件 1：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 -> 可积；
• 条件 2：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，且有有限个间断点 -> 可积；
• 条件 3：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上仅有有限个第一类间断点；
• 总结：
• 有界是定积分存在的必要条件；
• 可积是定积分存在的充分条件；

定积分性质

• 1. $$\int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha\int_{a}^{b}f(x)dx+\beta\int_{a}^{b}g(x)dx$$
• 2. $$\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=-\int_{b}^{a}f\left(x\right)dx$$
• 3. 当 $a<c<b$ 时： $$\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{c}f\left(x\right)dx+\int_{c}^{b}f\left(x\right)dx$$

5.2 变上限定积分

微积分基本定理

• 定义：
• $\text{若 }f(x)\text{在 }[a,b]\text{ 上连续，则：}\int_a^xf(t)\mathrm{d}t\text{ 在 }[a,b]$ 上可导，且有 $$(\int_a^xf(t)\mathrm{d}t)^{\prime}=f(x)$$
• 其他结论：
• $$(\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(t)dt)^{\prime}=f(\psi(x))\psi^{\prime}(x)-f(\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)$$

积分上限函数的奇偶性

• 1. 若 f (x)是奇函数，则 $\int_0^xf(t)dt$ 是偶函数；
• 2. 若 f (x)是偶函数，则 $\int_0^xf(t)dt$ 是奇函数；

变上限定积分三大方法

• 方法一：公式计算
• 举例： $$(\int_{e^{x}}^{x^{2}}f(t)dt)^{\prime}=f(x^{2})\cdot2x-f(e^{x})e^{x}$$
• 方法二：提取 x
• 举例： $$\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt;=x\int_{0}^{x}f(t)dt-\int_{0}^{x}tf(t)dt$$
• 积分域以及被积式子里面都有 x；
• 能提出 x 时：拆项，把 x 提取出来；
• 方法三：换元法
• 举例： $$\int_{0}^{x}cos(x-t)^{2}dt\frac{x-t=u}{}\int_{0}^{x}cos u^{2}du$$
• 积分域以及被积式子里面都有 x；
• 不能提出 x 时：换元；
• 注意：换元时，x 是常数，t 和 u 是被积分变量；
• 举例：当出现上下限都没有 x，但被积分式中有 x 时，需要把 x 换元、带入到上下限当中；
• 令 $x+t=u$ 后： $$\int_{1}^{2}f(x+t)dt=\int_{x+1}^{x+2}f(u)du$$

5.3 定积分的计算

5.3.1 方法一：牛顿-莱布尼茨公式

计算基础：牛顿 - 莱布尼茨公式

• 定义：
• $\text{设 }F(x)\text{ 为连续函数 }f(x)$ $\text{在 }[a,b]\text{ 上的一个原函数,则}$：$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，也称之为微积分基本公式；

5.3.1 方法二：定积分的换元法

公式

• $$\int_{a}^{b}f(x)\operatorname{d}x=\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t)\operatorname{d}t$$

5.3.2 方法三：定积分的分部积分法

公式

• $$\int_{a}^{b}u\operatorname{d}v=uv\bigg|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v\operatorname{d}u$$

5.3.3 方法四：定积分性质

方法一： 利用奇偶性，周期性

• $$\int_{-a}^af(x)\operatorname{d}x=\begin{cases}0,&f(x)&\text{为奇函数,}\\2\int_0^af(x)\operatorname{d}x,&f(x)&\text{为偶函数}.\end{cases}$$
• $$\int_a^{a+T}f(x)\operatorname{d}x=\int_0^Tf(x)\operatorname{d}x.$$

方法二： 利用已有公式

• $$\begin{aligned}(1)&\int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\operatorname{d}x=\int_0^{\frac\pi2}\cos^nx\operatorname{d}x=\begin{cases}\frac{n-1}n\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac12\frac\pi2,&n\text{偶}\\\frac{n-1}n\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac23,&n\text{奇}&\end{cases}\\(2)&\int_0^{\pi}x\cdot f(\sin x)\operatorname{d}x=\frac\pi2\int_0^{\pi}f(\sin x)\operatorname{d}x\end{aligned}$$

方法三：常见结论

• 1. $$\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{\pi a^{2}}{4}(a>0)$$
• 2. $$\int_{0}^{a}\sqrt{2ax-x^{2}}dx=\frac{\pi}{4}a^{2}$$
• 3. $$\int_{0}^{2a}\sqrt{2ax-x^{2}}dx=\frac{\pi}{2}a^{2}$$

5.4 反常积分

两类反常积分

• 无穷区间上的反常积分：
• $$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx=\lim_{t\to+\infty}\int_{a}^{t}f(x)dx$$
• $$\int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim_{t\to-\infty}\int_{t}^{b}f(x)dx$$
• 无穷函数的反常积分：
• $$\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\to a^+}\int_t^bf(x)dx$$
• $$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{t\to b^{-}}\int_{a}^{t}f(x)dx.$$
• $$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$$

题型一：判断反常积分敛散性

• 1. 定义法；
• 根据当前被积分式，求出其原函数，求原函数在被积分区间上的极限，看起极限值是否收敛；
• 2. 比较判别法；
• 比较法；
• 比较法的极限形式；
• 3. P 积分；
• 无穷限反常积分
• $$\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^{P}}dx\begin{cases}P>1&\text{收敛}\\P\leq1&\text{发散}\end{cases}(a>0)$$
• -> $P>1$ 时收敛，$P<1$ 时发散
• 无界函数的反常积分
• $$\int_a^b\frac1{\left(x-a\right)^P}dx,\int_a^b\frac1{\left(b-x\right)^P}dx\quad\begin{cases}{P}<1&\text{收敛}\\P\geq1&\text{发散}\end{cases}$$
• -> $P<1$ 时收敛，$P>1$ 时发散
• 哪个方便用哪个；

题型二：反常积分的计算

• 算个定积分 + 算个极限；
• 方法一：换元法
• 方法二：分部法

5.5 定积分应用

平面图形的面积

• 情况一：平面坐标
• 若平面域 $D$ 由曲线 $y=f(x),y=g(x)(f(x)\geq g(x))$, $x=a,\quad x=b\quad(a<b)$ 所围成，则：
• $$S=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx$$
• 情况二：极坐标
• 若平面域 $D$ 由曲线 $\rho=\rho(\theta),\theta=\alpha,\theta=\beta(\alpha<\beta)$ 所围成，则：
• $$S=\frac 12\int_\alpha^\beta\rho^2 (\theta)\mathrm{d}\theta$$

旋转体的体积

• 1. 绕 X 轴旋转时： $$V_{x}=\pi\int_{a}^{b}f^{2}(x)\operatorname{d}x$$
• 2. 绕 Y 轴旋转时： $$V_y=2\pi\int_a^bxf(x)\operatorname{d}x$$
• 3.

弧长的计算