Chapter 1：函数、极限、连续 — 高等数学 - 公式合集

Chapter 1：函数、极限、连续

1.1 函数基础性质

基本初等函数

• 幂函数、指数、对数、三角函数、反三角函数；

初等函数

• 1. 常数和五类基本初等函数构成；
• 2. 进行的加减乘除以及复合；
• 3. 所得到的用一个解析式表达的函数；

反函数与复合函数

• 情况一： $f^{-1}[f(x)]=x$
• 情况二： $f[f^{-1}(x)]=x$

奇偶性

• 奇偶判断：
• 常见奇函数：$\sin x,\tan x,\arcsin x,\arctan x,\ln\frac{1-x}{1+x},{\ln(x+\sqrt{1+x^2})},\frac{e^x-1}{e^x+1},$$f(-x)=-f(x)$
• 常见偶函数：$x^2,|x|,\cos x,f(x)=f(-x)$
• 运算规则：
• 奇函数 + 奇函数 = 奇函数
• 偶函数 + 偶函数 = 偶函数
• 奇函数 + 偶函数 = 非奇非偶
• 奇函数 × 奇函数 = 偶函数
• 偶函数 × 偶函数 = 偶函数
• 奇函数 × 偶函数 = 奇函数
• 复合函数：
• 内奇外同，内偶则偶
• 内函数是奇函数，则复合函数得奇偶性和外函数相同；
• 内函数是偶函数，则复合函数是偶函数；
• 导数关系：
• 奇函数的导函数：偶函数；
• 偶函数的导函数：奇函数；

周期性

• 1. $\sin x,\cos x\text周期为2\pi；\sin2x,|\sin x|\text周期为\pi$
• 2. $\text{若}f(x)\textit{以}T\text为周期,则f(a\text{x}+b)\textit{ 以}\frac T{|a|}\text{为周期}.$

1.2 极限、连续

无穷小

• 同阶无穷小： $\alpha(x)和\beta(x)$ 相除结果为常数 C（C 不等于 0）；
• 等价无穷小： $\alpha(x)和\beta(x)$ 相除结果为常数 1；
• 高阶无穷小： $\alpha(x)和\beta(x)$ 相除结果为 0；可记为：$\alpha(x)=o(\beta(x))$
• 低阶无穷小： $\alpha(x)和\beta(x)$ 相除结果为无穷；
• $$\text{若}\lim\frac{\alpha (x)^{\color{red}{}}}{\left[\beta (x)\right]^{k}\color{red}}=C\neq 0,\text{称α为β的 k 阶无穷小；}$$

连续性

• 定义：
• 定义 1：$\text{若 }\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0，则称y=f(x)在x_0点连续$
• 定义 2：设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个邻域内有定义，如果当 $x\to x_0$ 时，函数 $y=f(x)$ 的极限值存在，且等于 $x_{0}$ 处的函数值 $f(x_0)$ , 即 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$, 则称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续.
• $f(x)$ 连续的充分必要条件：$f(x)$ 左连续且右连续，左右连续相等；

间断点

• 1. 第一类间断点：左, 右极限均存在；
• 可去间断点：且左极限=右极限；
• 跳跃间断点：左极限不等于右极限；
• 2. 第二类间断点：左、右极限中至少有一个不存在；
• 无穷间断点：比如 $1/x$ 中，当 x=0 时；
• 振荡间断点：比如在 x 趋向于 0 时，$sin1/x$ 为振荡间断点；
• 无穷和震荡是第二类当中常见的两种，但是不一定只有这两种，也可能既不是无穷、也不是震荡；
• 常见需分左右极限情况：
• 1. 分段函数分界点；
• 2. E 无穷：$e^{\infty}$；
• 3. Arctan 无穷；

1.3 求极限的方法

1.3.1 利用基本极限求极限

常用基本极限

• $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1;$$

幂指数与根号

• $$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e;$$
• 是 $1^\infty$ 型，且括号内的幂底数是大于 0 的；
• $\lim_{x\to0}(1+\frac{1}{x})^{x}$ 不存在，因为 x 趋向于 0 时，还可以是趋向于 0 负；
• 易错点：注意以下极限不等于 a； $$\lim_{n\to \infty} a(\frac{n}{{n+1}})^n=\frac{a}{e}$$
• $\lim_{x\to0^+}(1+\frac{1}{x})^{x}=1$
• $\lim_{x\to\infty}(1+\frac1x)^x=e;$
• 是 $1^\infty$ 型，且括号内的幂底数是大于 0 的
• $\lim_{x\to\infty}(1+x)^{\frac{1}{x}}$
• $\lim_{x\to+\infty}(1+x)^{\frac{1}{x}}=1$
• $\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}x=\ln a;$
• $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1.$
• 注意这里是 n ，所以是趋向于正无穷；
• $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1,(a>0).$
• 注意这里是 n ，所以是趋向于正无穷；

分段函数

• $\left.\lim_{{x\to\infty}}\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{{b}_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0}=\left|\begin{array}{ll}\frac{a_n}{b_m},&n=m,\\0,&n<m,\\\infty,&n>m.\end{array}\right.\right.$
• 分子分母这么多项，结果主要取决于最大的数（最高次数）；
• 注意 x 是趋向于无穷。
• 当 x 趋向于 0 时，此时函数的值应该取决于最小的数（最低次数）；
• $\lim_{{n\to\infty}}x^n=\begin{cases}0,&|x|<1,\\1,&x=1,\\+\infty,&x>1,\\\text{不存在},&x\leq-1.\end{cases}$
• $\lim_{n\to\infty}e^{{nx}}=\begin{cases}0,&x<0,\\+\infty,&x>0\\1,&x=0.&\end{cases}$

1 的无穷大次方

• 对 $1^{\infty}$ 而言，其结果是不定式，不一定等于 1；
• $\text{若 }\lim\alpha(x)=0,\lim\beta(x)=\infty,\text{ 且 }\lim\alpha(x)\beta(x)=A。\text{则 }\lim(1+\alpha(x))^{\beta(x)}=e^A$
• 即核心在 $\lim\alpha(x)\beta(x)=A$，看它是否成立；
• 方法三部曲
• 1. 写成标准形式：$\text{原式 }=\mathbf{lim}[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}$；
• 2. 求极限：$\lim\alpha(x)\beta(x)=A;$
• 3. 写结果：$\text{原式}=e^A.$

1.3.2 等价无穷小代换

等价代换的原则

• 1. 乘除关系可以换
• $\text{若 }\alpha\sim\alpha_1,\beta\sim\beta_1,\text{则}\lim\frac\alpha\beta=\lim\frac{\alpha_1}\beta=\mathbf{lim}\frac\alpha{\beta_1}=\mathbf{lim}\frac{\alpha_1}{\beta_1}$
• 2. 加减关系在一定条件下可以换
• 减法
• $\text{若 }\alpha{\sim}\alpha_1,\beta{\sim}\beta_1,\text{且 }\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq1.\text{ 则 }\alpha{-}\beta{\sim}\alpha_1{-}\beta_1$
• 减法换的条件：两个减法项不等价，A 不等于 1；
• 比如：$sin2x - tanx$ ~ $2x - x$
• 加法
• $\text{若}\alpha{\sim}\alpha_1,\beta{\sim}\beta_1,\text{且 }\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq-1.\text{ 则 }\alpha{-}\beta{\sim}\alpha_1{+}\beta_1$
• 减法换的条件：两个加法项不等价，A 不等于 -1；

常用等价无穷小

• 当 x 趋向于 0 时；
• ${(1+x)^\alpha-1}\sim{\alpha x}$
• $e^{x}-1\sim x$
• 幂指函数的代换；
• $$x\sim\sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim\ln(1+x)\thicksim e^x-1;$$
• 变式：$\ln q(x)\sim q(x)-1,q(x)\to1$
• $$a^x-1\sim x\ln a,\quad{(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x},\quad1-\cos x\sim\frac12x^2$$

高阶等价无穷小

• $x-\sin x\sim\frac16x^3$，$\tan x-x\sim\frac13x^3$
• $\arcsin x-x\sim\frac16x^3\quad x-\arctan x\sim\frac13x^3$
• $x-\ln(1+x)\sim\frac12x^2$

两个等价无穷小的更通用形式

• $\log^{a}(1+2x)\sim(2x)^{a}=2^{a}x^{a}$
• $(1-ax)^{\frac{1}{\alpha}}\sim(\frac{1}{2}x^{2})^{\frac{1}{\alpha}}$

1.3.3 有理运算法则计算极限

计算前提

• 极限的加减乘除运算可以拆开来计算，前提是：每个被拆开部分的极限需要存在；

运算规则

• 规则：

• 加法：
• 存在 + 存在：可拆
• 存在 + 不存在：不可拆
• 不存在 + 不存在：不一定

常用结论

• 1. $\lim f(x)=A\neq0\Rightarrow\lim f(x)g(x)=A\lim g(x);$
• 极限非零的因子的极限可以先求出来；
• 2. $\lim\frac{f(x)}{g(x)}\text{ 存在,}\lim g(x)=0\Rightarrow\lim f(x)=0;$
• 3. $\lim\frac{f(x)}{g(x)}=A\neq0,\lim f(x)=0\Rightarrow\lim g(x)=0;$

1.3.4 洛必达法则

洛必达法则

• $$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$$

使用前提

• 1. $\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=0\left(\infty\right)$
• 2. $f(x)\text{ 和 }g(x)\text{在 }x_0\text{的某去心邻域内可导},\text{且 }g^{\prime}(x)\neq0$
• 3. $\lim_{x\to x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\text{存在;}$
• 举例：如果条件是函数 f (x) 二阶可导，则使用洛必达法则最多用到一阶导数

使用环境

• 种类：$$\frac00;\quad\frac\infty\infty,\quad0\cdot\infty;\quad\infty-\infty;\quad1^\infty;\quad\infty^0;\quad0^0$$
• 解题思路：$\frac00,\frac\infty\infty\quad\Leftarrow\begin{cases}\quad ∞-∞\\0\cdot\infty\quad\Leftarrow\begin{cases}1^\infty\\\infty^0\\0^0&\end{cases}&\end{cases}$
• 转换方法：
• $0\cdot\infty\quad$
• 思路：将 0 或者无穷当中一个放到上面（分子）OR 下面（分母）；
• $1^\infty;\quad\infty^0;\quad0^0$：
• 思路：这三种都得改写成 0 乘以无穷大；
• 方法： $[f(x)]^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}$ -> 改写成 e 的形式；
• 核心：求 e 上面的相乘部分的无限；

1.3.5 泰勒公式

常用泰勒公式

• $$\mathrm{e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}x^n=1+x+\frac1{2!}x^2+\cdots\in(-\infty,+\infty)}$$
• $$\sin\mathrm{x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}x^5+\cdots,x\in(-\infty,+\infty)}$$
• $$\cos\mathrm{x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4+\cdots,x\in(-\infty,+\infty)}$$
• $$\mathrm{ln(1+x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}=x-\frac12x^2+\frac13x^3+\cdots,x\in(-1,1]}$$
• $$\begin{aligned}&\frac1{1-\mathrm{x}}=\sum_{\mathrm{n=0}}^\infty\mathrm{x^n}=1+\mathrm{x+x^2+x^3+\cdots,x\in(-1,1)}\\&\frac1{1+\mathrm{x}}=\sum_{\mathrm{n=0}}^\infty(-1)^\mathrm{n}\mathrm{x}^\mathrm{n}=1-\mathrm{x}+\mathrm{x}^2-\mathrm{x}^3+\cdots,\mathrm{x}\in(-1,1)\end{aligned}$$
• $$\mathrm{(1+x)^a=1+\sum_{n=1}^\infty\frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\cdots,x\in(-1,1)}$$

泰勒公式-展开结论

• 公式：

• 背诵技巧：
• 解释：
• 变：变符号，+ - + - + -
• 阶：阶乘，比如 3
• 口诀：
• sin：变阶 135
• cox：变阶 124
• arcsin：正 13 带 6
• tanx：正 13
• arctanx：变 135
• ex：阶乘 123
• In (1+x)：从 x 开始，变 123

1.3.6 定积分定义