Chapter 0：数学基础 — 高等数学 - 公式合集

Chapter 0：数学基础

0.1 函数运算

0.1.1 三角函数

secx 与 cscx

• 值域：$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$
• 值：用 $\cos x$ 和 $\sin x$ 的倒数来算就可以
• 图像：
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反三角函数

• 概念：
• 注意：
• 反正弦函数并不是 $y=\sin x$ 在整个定义域上的反函数，注意 $y=\arctan x$ 的值域；
• 它仅是 $y=\sin x$ 在 $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ 上的反函数，其他区间的反函数求解需要通过恒等变形平移到 $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ 上才能表示，反余弦函数类似；
• 关系：arcsinx 与 sinx
• 在 $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ 时，由反函数 $f^{-1}[f(x)]=x$ 可知：$arc\sin(\sin x)=x$
• 在 $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ 时，由反函数 $f[f^{-1}(x)]=x$ 可知：$\sin(\arcsin x)\equiv x$
• 举例：利用恒等变换平移 x：
• 求 $\arcsin (\sin x),x\in(\frac{3}{4}\pi,\pi)$
• 构造 $\sin x = \sin(\pi-x)$，将区间移动至 $(0,\frac{\pi}{4})$，此时才可以使用复合函数
• 得到 $$\arcsin (\sin x)=\arcsin(\sin(\pi-x))=\pi-x, x\in (\frac{3}{4}\pi,\pi)$$
• arcsinx：
• 值域：$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$
• 
• arccosx：
• 值域：$[0,\pi]$
• 

补充：$\arctan$ 的定义

• $\tan(\arctan x)= x$
• 图示
• 
• 表格
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三角函数基础

• 和差公式：
• 公式：
• $$\begin{aligned}&\sin\left(x\pm y\right)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y\\&\cos\left(x\pm y\right)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y\\&\tan\left(x\pm y\right)=\frac{\tan x\pm\tan y}{1\mp\tan x\tan y}.\end{aligned}$$
• 常用结论：
• $$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+\frac{{\pi}}{4})$$
• $$\sin(n\pi+\alpha)=(-1)^n\sin\alpha$$
• 诱导公式：
• 
• 倒数关系：
• $$\tan\alpha\cot\alpha=1、\sin\alpha\csc\alpha=1、\cos\alpha\sec\alpha=1$$
• 商数关系：
• $$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}、\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$
• 平方关系：
• $$ \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1、1+\tan^{2}\alpha=\sec^{2}\alpha、1+\cot^{2}\alpha=\csc^{2}\alpha$$
• 二倍角公式：
• $$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$
• $$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$$
• $$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{2\cot\alpha}{\cot^2\alpha-1}=\frac{2}{\cot\alpha-\tan\alpha}$$
• 半角公式：

• 降次与升次
• 降次公式：
• $$\cos^{2}\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2},\sin^{2}\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2},\tan^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}$$
• 升次公式：
• $$1+\cos2\alpha=2\cos^2\alpha,1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha, 1\pm\sin2\alpha=\left(\sin\alpha\pm\cos\alpha\right)^2$$
• $\cos x$ 的消 $1$ 特性：
• 举例：$$1-\cos x=1-(\cos 2*\frac{x}{2})=1-(1-2\sin^2 \frac{x}{2})=2\sin^2 \frac{x}{2}$$
• 反三角函数：
• $$x=a\sin t\text{ 时，}t=\arcsin\frac xa.$$
• $$x=a\sec t\text{ 时，}t=\arccos\frac{a}{x}.$$

三角函数求导合集

• 正弦、余弦：
• $$(\sin x)^{\prime}=\cos x、(\cos x)^{\prime}=-\sin x$$
• tan、cot、sec、csc：
• $$\begin{aligned}(\tan x)^{\prime}&=\sec^2x&(\cot x)^{\prime}&=-\csc^2x\\\\(\sec x)^{\prime}&=\sec x\tan x&(\csc x)^{\prime}&=-\csc x\cot x\end{aligned}$$
• 反三角函数：
• $$\begin{aligned}&(\arcsin x)^{\prime}=\frac1{\sqrt{1-x^2}}&&(\arccos x)^{\prime}=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\&(\arctan x)^{\prime}=\frac1{1+x^2}&&(\operatorname{arccot}x)^{\prime}=-\frac1{1+x^2}\end{aligned}$$

0.1.2 极坐标

极坐标基础概念

• 转换：
• $$\left\{\begin{array}{c}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}r=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\operatorname{atan2}(y,x)\end{array}\right.$$
• 注意：上述转换方法仅限于二者原点相同，且极坐标参考系与直角坐标的 $x$ 轴方向相同的情况；

极坐标常见函数形式

• 射线 y=kx ，其极坐标方程：$\theta=\theta_0$
• 圆心在原点，半径为 a 的圆：$r=a$
• 圆心在 (a,0) 点，半径为 a 的圆：$r=2a\cos\theta$
• 圆心在 (0,a) 点，半径为 a 的圆：$r=2a\sin\theta$

0.1.3 参数方程

参数方程

• 直线：
• 形式：
• $y=k(x-x_{0})+y_{0}$
• 参数方程：
• $\begin{cases}x=x_0+t\cos\alpha\\y=y_0+t\sin\alpha\end{cases}$
• 图示：
• 
• 圆：
• 形式：
• $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
• 参数方程：
• $\begin{cases}x=a+r\cos t\\y=b+r\sin t\end{cases}$
• 图示：
• 

初等数学常见参数方程

常见参数方程及其图形

• 星形线
• 一般式 $$x^{\frac23}+y^{\frac23}=a^{\frac23}$$
• 参数方程 $$\begin{cases}x=a\cos^3\theta\\y=a\sin^3\theta\end{cases}$$
• 图像：
• 
• 摆线
• $$\text{参数方程 }\begin{cases}x=a (\theta-\sin\theta)\\y=a (1-\cos\theta)\end{cases}.$$
• 
• 对数螺纹线：
• $$\rho=a\mathrm{e}^{\theta}$$
• 
• 双扭线
• 

0.1.4 对数与指数

对数运算法则

• $$log_a(mn)=log_am+log_an$$
• 注意：$\log_2{(m+n)}不能拆开为(\log_2m)*(\log_2n)$，只能进行上面的运算，两者不要弄混了；
• $$log_am^n=nlog_am$$
• $$log_a\left(\frac{m}{n}\right)=log_am-log_an$$
• $$log_a\sqrt[n]{m}=\frac{1}{n}log_am$$
• $$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$$
• $$u^v=\mathrm{e}^{v\ln u}\left(u>0\right)$$

指数运算法则

对数与指数运算

• 等式两边同时取对数：
• 作用：同时取对数，消掉指数，得对数
• $$y=(x+1)^{3}(x-2)^{2}\rightarrow lny=3ln(x+1)+2ln(x-2)$$
• 等式两边同时取指数：
• 作用：同时取指数，消掉对数，得指数
• $$y=\ln\left(x+{\sqrt{x^{2}+1}}\right)\rightarrow e^y=x+\sqrt{x^2+1}$$

0.1.5 初等函数

平方、立方、多项公式

• 三项之和平方差：
• $$\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$
• 完全立方和、差：
• $$\begin{aligned}\left(a+b\right)^3&=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2\\\left(a-b\right)^3&=a^3-b^3-3a^2b+3ab^2\end{aligned}$$
• 二项式定理：
• $$\begin{aligned}&\left(a+b\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\mathrm{C}_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}=a^n+\mathrm{C}_n^1a^{n-1}b+\cdots+\mathrm{C}_n^{n-1}ab^{n-1}+b^n\end{aligned}$$

分子、分母有理化

• 有理化 -> 去除掉分子或者分母中的根式
• 分子有理化：
• 将分子分母同乘以其分子中根式的共轭根式；
• 举例：$$f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{x}=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})*(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}=\frac{2}{x\cdot(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}$$
• 其中 $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}$ 是 $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$ 的共轭根式；
• 分母有理化：
• 方法同分子有理化，将分子分母同乘其分母的共轭根式；
• 分子、分母同时有理化：
• 分子、分母先同乘分子的根式的共轭根式，然后再同乘分母的共轭根式；

裂项

• 方法：
• 第一步：设拆项后的分式以及 A、b
• 第二步：将带有 A、B 的式子同分，分子中带 A、B 的式子变换成标准式
• 第三步：将带 A、B 的标准式和原式子中分子对比，系数相等，解出 A、b
• 举例：
• $$求\quad\frac{x}{x^2-5x+6}$$
• $$已知\frac{x}{x^2-5x+6}=\frac{x}{(x-2)(x-3)}，设\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}$$
• 通分，得到：$$\frac{\text{A}(x-3)+\text{B}(x-2)}{(x-2)(x-3)}=\frac{(\text{A+B})x-3\text{A}-2\text{B}}{(x-2)(x-3)}$$
• 对比系数 x，得到：$$\left.\left\{\begin{array}{c}\left(1\right)\mathrm{A}+\mathrm{B}=1\\\left(2\right)\mathrm{3A}+2\mathrm{B}=0\end{array}\right.\right.$$
• 可得：B=3, A=-2，即：$$-\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x-3}$$
• 举例 2：
• 

加项、减项、拆

• 目的：
• 进行多项式分式的化简；
• 方法：
• 从分子的最高项开始入手，去凑与分母相同的公因式进行相消，随后依次逐个从高到低进行化简，直至化到分子最高项小于分母；

一元二次方程

• 对 $ax^2+bx+c=0\left(a\neq0\right)$：
• $\triangle = b^2- 4ac> 0\Leftrightarrow$ 方程有两个不同的实根；
• $\triangle = b^2- 4ac= 0\Leftrightarrow$ 方程有两个相等实根；
• $\bigtriangleup=b^2-4ac<0\Leftrightarrow$ 方程有一对共轭复根
• 求根公式：
• $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

求解三次方程

• 第一步：将方程改写成 $x^3+bx^2+cx+d=0$ 的形式；
• 第二步：猜根，根据 d 猜测其可以分解成哪三个数的乘积；
• 第三步：整理，分解因式 -> 先将其整理成 $(x-x_0)\left(x^2+px+q\right)=0$ 的形式，求解 $x^2+px+q=0$ 得到另外两个根；

结论

• 反正切函数：
• $$\arctan x+\arctan\frac1x\equiv\frac\pi2(x>0).$$
• 下面指数直接写值：
• $$(-1)^{2n}=1\quad\quad(-1)^{2n-1}=-1$$
• $$n\to\infty时,\quad(-1)^{n-3}=(-1)^{n-1}$$
• $$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)$$

0.2 几何基础

0.2.1 直线

直线常用形式

• 点斜式：$$y-y_0=k\left(x-x_0\right)$$
• 两点式：$$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right)\rightarrow \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}.$$
• 标准式：$$Ax+By+C=0$$

点到直线距离公式

• 距离公式：
• $$d=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

法线、切线

• 切线方程：$y-y_{0}=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})$
• 法线方程：$y-y_0=-\frac1{f^{\prime}(x_0)}(x-x_0)$

0.2.2 圆与椭圆

圆及其标准形式

• 标准形式：$$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$$
• 周长：$$2\pi R$$
• 面积：$$\pi R^2$$
• 球的表面积：$$S=4\pi R^2$$
• 球的体积公式：$$\frac{4}{3}\pi R^3$$

圆锥的体积

• S 为圆锥的底面积，H 为圆锥的高，则：
• $$V_{圆锥}=\frac{1}{3}SH$$
• 若圆锥底面的半径为 R，则：
• $$V_{圆锥}=\frac{\pi}{3}R^2H$$

椭圆及其面积

• 椭圆方程： $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
• 偏心椭圆方程：
• x 轴平移 m，沿 y 轴平移 n
• $$\frac{\left(x-m\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-n\right)^2}{b^2}=1$$
• 椭圆面积：$$S=\pi ab$$

0.2.3 三角形面积

概念：三角形的两个面积公式

• 设 x、y、z 是三角形的三条边，并且 y 为底边，h 为对应的高，三角形的周长为 2p
• $$S=\sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)}=\frac12yh$$

0.2.4 体积

概念

• 四面体体积：
• $$V_{四面体}=\frac{1}{3}S_{底面积}*高$$

0.3 数列与数学归纳法

0.3.1 数列求和

等差与等比数列

• 等差数列求和：$$s_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$$
• 等比数列求和：$$s_n=\begin{cases}na_1,\quad(q=1),\\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q},\quad(q\neq1).\end{cases}$$

常用求和结论

• $$\sum_{k=1}^{1}\frac{1}{4k^{2}-1}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2k+1})$$
• $$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$$
• $$\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

0.3.2 数学归纳法

第一数学归纳法

• 第一数学归纳法适合于递推式只涉及到 $a_1$ 和 $a_n$ 两项的命题，其步骤为：
• （1）验证 n=1 时命题正确；
• 将 n=1 代入等式左右两边，看是否成立；
• （2）假设 n=k 时命题正确；
• 自己设一个任意数 k，并且假设现在这个 k 就是 n，代入到式子左右两边；
• （3）证明 n=k+1 时命题正确
• 取 n=k+1，将其代入式子左边（求和式）与右边，将其整理为 n=k+1 的等式形式；

第二数学归纳法

• 举例：
• 设 $D_n= 2aD_{n- 1}- a^{2}D_{n- 2}$ , $D_{1}= 2a$, $D_2=3a^2\left(a\neq0\right)$,利用数学归纳法证明：$D_n=\left(n+1\right)a^n.$
• 第二数学归纳法适合于递推式涉及到 $a_{n-1}$，$a_n$ 和 $a_{n+1}$ 三项的命题，其步骤为：
• （1）验证 n=1 和 n=2 时命题正确;
• 当 $n=1$ 时 $D_1=2a=\left(1+1\right)a^{1}$,
• 当 $n=2$ 时，$D_2= ( 2+ 1) a^2$,命题成立，
• （2）假设 n<k 时命题正确；
• $\text{设}n<k\text{时, 有}D_n=\left (n+1\right) a^n\text{成立}$
• （3）证明 n=k 时命题正确；
• 则当 n=k 时，$\begin{aligned}&D_k=2aD_{k-1}-a^2D_{k-2}=2a\left(ka^{k-1}\right)-a^2\left[\left(k-1\right)a^{k-2}\right]\end{aligned}=\begin{pmatrix}k+1\end{pmatrix}a^k.$
• 由数学归纳法可知其成立；

0.4 其他知识

0.4.1 复数

概念

• 复数：$\text{对任意两实数x,y,称 z=x+iy 或 z=x+yi 为复数}$
• 运算：$$i^2=-1\quad i=\sqrt{-1}\quad\text{i 称为虚部}$$
• 举例：$\sqrt{-4}=2\sqrt{-1}=2i$

0.4.2 物理应用

0.4.3 常用不等式

基本不等式

• 乘法、开方原则：
• $$(\text{乘方法则})a>b>0\Rightarrow a^{n}>b^{n}(n\in N,\text{且}n>1) ;$$
• $$\\(\text{开方法则})a>b>0\Rightarrow\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}(n\in N,\text{且}n>1)$$
• 基本不等式：
• $$a^2+b^2\geq2ab，当且仅当a=b时取等号$$
• $$\frac{a+b+c}3\geq\sqrt[3]{abc} (a,b,c\in R^+)$$

高数常用不等式

• 绝对值不等式：
• $$-|x|\leqslant x\leqslant|x|$$
• $$|a|-|b|\leq|a\pm b|\leq|a|+|b|$$
• $$|\sin x|\leqslant1$$
• 常用其他不等式：
• $$\begin{aligned}&(1) \left|\sin x\right|\leqslant\left|x\right|, \forall x\in R , \text{当}x=0 \text{时取等号};\\&(2) \left|x\right|\leqslant\left|\tan x\right|, \forall x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), \text{当}x=0 \text{时取等号};\\&(3) \frac{x}{1+x}\leqslant\ln\left(1+x\right)\leqslant x , \forall x\geqslant0 ;\end{aligned}$$
• $$\ln n<\sqrt n$$
• 积分不等式：
• $$f(x){\leqslant}g(x)\text{,则}\int_a^bf(x)dx{\leqslant}\int_a^bg(x)dx .$$
• $$\left|\int_a^bf(x)dx\right|\leqslant\int_a^b\left|f(x)\right|dx(a<b)$$
• $\text{ 设}M\text{ 及}m\text{ 分别是函数}f(x)\text{在区间}[a,b]\text{上的最大值和最小值,则:}$
• $$\\m(b-a)\leqslant\int_a^bf(x)dx\leqslant M(b-a)(a<b)\text{(积分估值定理)}$$