Lecture 7：知识 - 信道的极限容量

描述：提高通信速率有两道不同上限：无噪声、有限带宽信道受奈奎斯特码元速率限制；有噪声信道再受香农信息速率限制。前者关注带宽与码元状态数，后者关注带宽与信噪比，二者必须同时满足。

2.1 信道失真与码间串扰

数字方波不是单一频率信号，可视作基波和多个高次谐波叠加的结果。实际信道带宽有限，越高频的分量越难无失真通过；传输后方波边沿会变缓、波形展宽。

当码元传输速率升高，码元周期缩短，前一脉冲的拖尾可能进入后一符号的判决时刻，造成码间串扰（ISI）。接收端难以区分某一时刻信号究竟来自当前码元还是相邻码元，从而发生误判。

常见影响因素可归纳为：

因素	对失真/误码的影响
信道带宽有限	高频谐波被削弱，方波畸变，易产生码间串扰
码元速率过高	符号间隔太短，脉冲重叠加重
衰减与频率响应不平坦	不同频率分量衰减不同，波形改变
噪声	随机叠加到信号，可能越过判决门限
多径/相位变化等	不同路径或相位叠加导致波形失真

2.2 奈奎斯特准则：无噪声带宽限制

对带宽为 $W,(Hz)$ 的理想低通信道，为避免码间串扰，最高码元传输速率（波特率）为：

$$B_{max}=2W\quad(Baud)$$

若每个码元有 $V$ 个可区分电平/状态，则每码元信息量为 $\log_2V$ bit，最高数据率为：

$$C_N=2W\log_2V\quad(bit/s)$$

提高项	能否提高 $C_N$	限制
增大带宽 $W$	可以	受频谱/介质/设备限制
增大状态数 $V$	数学上可以	电平/相位越密，抗噪声能力越差，接收机更难区分
超过 $2W$ Baud	不可可靠实现	会产生严重码间串扰

奈奎斯特公式说的是无噪声、带宽有限时的上限；不要把 $2W$ 直接写成“最高 bit/s”。只有二元码元 $V=2$ 时，$\log_2V=1$，数值才恰为 $2W,bit/s$。

2.3 香农公式：有噪声信道容量

实际信道有随机噪声。即使不违反奈奎斯特码元速率，通过无限增加 $V$ 来让一个码元携带更多 bit 也不可无限提高可靠数据率：相邻状态越密，噪声越容易使其被判为另一状态。

带宽为 $W$、信号平均功率为 $S$、噪声平均功率为 $N$ 的连续带宽高斯噪声信道，其理论极限容量：

$$C_S=W\log_2\left(1+\frac{S}{N}\right)\quad(bit/s)$$

其中 $S/N$ 是线性信噪比，不是 dB 值。若给出分贝值：

$$SNR_{dB}=10\log_{10}\frac{S}{N},\qquad \frac{S}{N}=10^{SNR_{dB}/10}$$

量	影响
带宽 $W$ 增大	香农容量线性增大
信噪比 $S/N$ 增大	容量按对数增大，收益递减
噪声增大	$S/N$ 降低，可靠可达速率降低
$S/N\to\infty$	理论容量可继续提高，但实际硬件/频谱仍有限

2.4 两个公式的联合使用

实际可实现数据率必须同时不超过两种上限：

$$R\le\min\left(2W\log_2V,;W\log_2(1+S/N)\right)$$

解题顺序：

若题目给带宽和码元状态数、强调理想无噪声/无码间串扰，使用奈奎斯特。
若给信号功率与噪声功率或 dB、问理论最大可靠速率，使用香农。
同时给 $W,V,S/N$ 时分别计算，两者较小者才是受限的最高数据率。
若给目标比特率 $R$，奈奎斯特上限要求 $V\ge 2^{R/(2W)}$；$V$ 必须是可实现的整数状态数，若每码元固定映射整数个 bit，通常取不小于 $R/(2W)$ 的最小整数位数 $k$，再选 $V=2^k$。最后还要检查香农容量是否足够。

题型：#奈奎斯特与香农计算

第一部分：典型例

带宽 $W=3,kHz$、4 个码元状态的无噪声信道：

$$C_N=2\times3000\times\log_2 4=12000,bit/s$$

若同一信道信噪比为 $30,dB$，则 $S/N=10^{30/10}=1000$：

$$C_S=3000\log_2(1001)\approx29.9,kbit/s$$

此时受奈奎斯特的 $12,kbit/s$ 限制；若增加 $V$，还要继续比较香农上限。

源资料例题核对

条件	计算	结果
2009：无噪声，$W=3,kHz$；QAM 有 4 个相位、每相位 4 个振幅	$V=16$，$R=2\times3000\times\log_2 16$	$24,kb/s$
2011：数据率 $2400,bit/s$，采用 4 相位调制	每码元 $\log_2 4=2$ bit，$B=2400/2$	$1200,Baud$
2014：问哪个因素不影响信道数据传输速率	信噪比、频率带宽、调制状态数会影响上限；信号在介质中的传播速度主要影响传播时延	传播速度不直接决定上述容量上限
2016：$W=8,kHz$，$SNR=30,dB$，实际速率为理论容量的 50%	$S/N=1000$，$C\approx8k\log_2(1001)\approx80,kb/s$	实际约 $40,kb/s$

传播速度和数据传输速率不是同一概念：前者决定比特在介质中前进多快以及传播时延，后者描述单位时间发送/可靠传递多少 bit。

第二部分：易错点

Hz 与 Baud 都与每秒有关但含义不同；带宽是频率范围/能力，波特率是每秒码元数。
信噪比 dB 不能直接代入 $\log_2(1+S/N)$，必须先转换为线性比。
香农容量是理论上可以实现任意低误码率的极限，不表示简单调制方案必能达到。
信号传播速度主要影响传播时延，不要把光纤/铜缆中的传播速度直接代入奈奎斯特或香农公式。

2.5 本节复盘

数字方波由多频率分量叠加，带宽有限会导致失真；高码元速率下脉冲重叠形成码间串扰。
无噪声带宽 $W$ 的最高码元速率为 $2W$ Baud，最高数据率为 $2W\log_2V$。
有噪声容量为 $W\log_2(1+S/N)$；$S/N$ 是线性比，dB 要先换算。
增加码元状态能提高奈奎斯特上限，却会降低抗噪声裕量；实际速率取两种上限的较小值。