Lecture 23：正定二次型

23.1 正定二次型

23.1.1 基本概念

定义： #正定二次型

<font color="#ccc1d9">描述： $$n\text{元二次型}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx.\text{若对任意的}x=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T\neq0,\text{均有}x^TAx>0,\text{则称}f为正定二次型$$

称二次型的对应矩阵 $A$ 为正定矩阵；

解释

• 解释：几何理解
• 比如在二元情况下，在二维坐标系下，正定就是抛面；

定理： #正定二次型的充要条件

<font color="#ccc1d9">描述：

$n$ 元二次型 $f=x^\mathrm{T}Ax$ 正定

$\Leftrightarrow$ 对任意 $x\neq0$,有 $x^\mathrm{T}Ax>0(定义)$

$\Leftrightarrow f$ 的正惯性指数 $p=n$

$\Leftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $D$,使 $A=D^TD$

$\Leftrightarrow A=E$

$\Leftrightarrow A$ 的特征值 $\lambda_i>0\left(i=1,2,\cdots,n\right)$

$\Leftrightarrow A$ 的全部顺序主子式均大于 $0$

解释

• 顺序主子式：
• 一定是主子式，是主子式的一种；
• 开头一定是 $a_{11}$，结尾一定是 $a_{kk}$
• $$\begin{vmatrix}A_{k}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix}$$

定理： #二次型正定的必要条件

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述： $$\begin{aligned}&\left(1\right)a_{ii}>0\left(i=1,2,\cdots,n\right).\\&\left(2\right)\left|A\right|>0 .\end{aligned}$$

23.2 判断正定

总结：判断正定的方法

• 方法一：利用充分条件 - $A$ 的全部顺序主子式均大于 $0$
• 如果满足都大于 $0$，则矩阵正定；
• 方法二：利用特征值，特征值全正、则矩阵正定
• 方法三：配方法 - 函数配成二次型标准型的格式，看起系数是否都是正的；
• 方法四：定义法
• 首先进行配方，对函数 $f=(x_1+x_2)^2+(x_1+x_3)^2+(x_2+x_3)^2$ ，这不是配方法；如果配成了这样，往往就是一个不可逆的变换；
• 判读：因为是平方和，所以 $f=0$ 的充要条件就是 $\begin{cases}x_{1}+x_{2}=0\\x_{1}+x_{3}=0\\x_{2}+x_{3}=0.\end{cases}$
• 其行列式为 $\left|\begin{matrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{matrix}\right|$
• 所以：$x_1=X_2=x_3=0$
• 所以根据定义：$f>0\Leftrightarrow\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{matrix}\right)\neq0$

总结：证明正定二次型充要条件的步骤

• （1）先说明 $A^T=A$
• （2）再用充分条件；
• 注意：q=0 无法推出来 p=n