Lecture 12：极大线性无关组与向量组的秩

12.1 极大线性无关组

12.1.1 极大线性无关组基本概念

定义： #极大线性无关组

描述： $$\text{在向量组}a_1,a_2,\cdots,a_s\text{中,若存在部分组}a_{i_1},a_{i_2},\cdots,a_{i_r}\text{满足}:$$

$$1.a_{i_1},a_{i_2},\cdots,a_{i_r}线性无关$$

$$2. 向量组中任意向量 a_i 是原本向量组的极大线性无关组$$

则称：$$a_{i_1},a_{i_2},\cdots,a_{i_r}是原向量组的极大线性无关组$$

解释

概念：
向量组的极大线性无关组一般不唯一；
只由一个零向量组成的向量组不存在极大线性无关组，一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量组本身；
$a_{i_1},a_{i_2},\cdots,a_{i_r}$
来自原来的向量组；
从向量中挑出部分组：$i_r$ 个出来；
注意：
极大线性无关组是不唯一的；
零向量不研究；

12.1.2 等价向量组

定义： #等价向量组

描述： $\text{设两个向量组:(I)}\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,(II)\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_i.\text{若(I)中每个向量}\alpha_i(i=1,2,\cdots,s)\text{均可由}$ (Ⅱ)中向量线性表示,则称向量组 (1)可由向量组 (Ⅱ)线性表示; 若向量组 (I), (Ⅱ)可以相互线性表示,则称向量组 (I)与向量组 (I)是等价向量组，记作 (I)相似于(Ⅱ).

解释

概念：
表示多个向量可以被多个向量表示；
等价向量组不是极大线性无关组，其中可能会有“躺平”的向量组；
所以不是“相等”，而是叫等价；
目的：
本质上来说，其表示：等价向量组所装成的空间是一致的；
解释：
A 和 B 等价 <-> A 可以由 B 表示 + B 可以由 B 表示 <-> r(A)=r(B)=r(A|B)

补充：充要条件

$r(\alpha_{1}\alpha_2,\cdots,\alpha_s)=r(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_i).$
证明：
不妨设：$r(\alpha_{1}\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_i)=r(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_i)=r(\alpha_{1}\alpha_2,\cdots,\alpha_s)$
则表示：$\alpha_{1}\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 可以由 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_i$ 表示；
还表示：$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_i$ 也可以由 $\alpha_{1}\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 表示；
等价向量组的充分条件 <- 三秩相同：
$$r(\alpha_{1}\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_i)=r(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_i)=r(\alpha_{1}\alpha_2,\cdots,\alpha_s)$$
意义：将其转化为求其秩是否相同的问题；

注意：考生应注意等价矩阵和等价向量组概念的区别；

矩阵等价要同型：A,B 等价 -> r(A)=r(B).
举例：$(\begin{matrix}1\\0\end{matrix})和(\begin{matrix}0\\1\end{matrix})$
等价向量组的充分条件：$r(A|B)=r(B)=r(A)$

12.2 向量组的秩

12.2.1 向量组的秩基本概念

定义： #向量组的秩

描述： $$r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s})=r$$

等价向量组具有相等的秩，反之未必成立

解释

极大无关组的空间的维数；

12.2.2 有关秩的重要定理和公式

定理： #三秩相等

描述： r(A)(矩阵的秩)=A的行秩(A的行向量组的秩)=A的列秩(A的列向量组的秩)

解释

竖着看和横着看的向量组它们的秩都是一样的；

定理： #A到B的初等行变换

描述：若 A 到 B 进行初等行变换，则：

1. A 的行向量组和 B 的行向量组是等价向量组；

2. A 和 B 的任何相应的部分列向量组具有相同的线性相关性；

解释

1. A 的行向量组和 B 的行向量组是等价向量组 <- $r(A|B)=r(B)=r(A)$
2. A 和 B 的任何相应的部分列向量组具有相同的线性相关性；
不仅是性质相同，最后得到的解也是相同的；

定理： #向量组的线性表示

描述：若向量组 A 可以被 B 表示，则 $r(A)<=r(B)$

12.2.3 解题：求极大线性无关组

方法：求极大线性无关组的步骤

1. 将列向量们组成矩阵作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，并确定 r(A)；
2. 按列找出一个秩为 r(A) 的子矩阵，即为一个极大线性无关组；

12.2.4 结论

结论一：r(AB)≤min{r(A),r(B)

结论二：r(A+B)≤r([A, B]≤r(A)+r(B)

结论三：设 A 是 n (n≥2) 阶方阵，$A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则：

$$r\left(A^{*}\right)=\begin{cases}n,&r\left(A\right)=n,\\1,&r\left(A\right)=n-1,\\0,&r\left(A\right)<n-1.\end{cases}$$