Lecture 61：场论初步

61.1 方向导数

61.1.1 方向导数基本概念

##### 定义： #方向导数

<font color="#ccc1d9">描述： $$\frac{\partial f}{\partial l}\Bigg|_{(x_0,y_0)}=\lim_{t\to0^+}\frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}t$$

解释

• 作用：
• 对 x 以及对 y 的偏导反映了函数沿着 x 或者 y 方向上的变化；
• 但如果需要描述函数沿着其他方向上的变化时，就需要使用方向导数；
• 概念：
• 1. $\cos \alpha$ 和 $\cos\beta$ 表示了直线方向；
• 2. $x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta$ 表示了直线方向上的一点；
• 3. $\frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}t$：一点的方向值减去以函数值后除以 t，当 t->0 时，表示了这一点的方向导数值；
• 注意：
• t 只能趋向于 0 正；

61.1.2 方向导数的可微性判断

定理： #方向导数的存在性判定

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：若 $z=f(x,y)$ 可微，则这一点沿着任何方向上的方向导数都存在，且方向导数等于两个偏导数、乘以其方向余弦，如下式：

$$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}\cos\beta $$

解释：可微 -> 任意方向可导；

61.2 梯度

定义： #梯度

<font color="#ccc1d9">描述： $\text{设 }f(x,y)\text{ 在点 }P(x_0,y_0)\text{ 有连续一阶偏导数}$，则：$$\mathrm{grad}u=f_x(x_0,y_0)\mathbf{i}+f_y(x_0,y_0)\mathbf{j}$$

解释：梯度的意义

• 每个点有无限个方向导数，但梯度方向上的方向导数最大；
• 方向导数的最大值，就是梯度的模；

61.3 散度与旋度

定义： #散度

<font color="#ccc1d9">描述：设有向量场 $A(x,y,z)=({P,Q,R})$ ，则：

$$\mathbf{divA}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

解释

• 散度是一个数；

定义： #旋度

<font color="#ccc1d9">描述： 设有向量场 $A(x,y,z)=({P,Q,R})$ ，则：

$$\mathbf{rotA}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\frac\partial{\partial x}&\frac\partial{\partial y}&\frac\partial{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}$$

解释

• 旋度是一个向量；