Lecture 37：可降阶方程与高阶线性微分方程

1.1 可降阶方程概念

高阶方程降阶核心

• 核心：
• 大部分是不可以降阶的，在 1.2 小节当中的大部分只是理论上有解，但没有通用方法求解；
• 可以用通用方法降阶、求解的两种类型：$y^{\prime\prime}=f(x,y^{\prime})$ 和 $y"=f(y,y^{\prime})$
• 判断所属的可降阶类型，进行对应的代换，然后使用分离变量法；
• 注意：
• 求高阶微分 方程定解时，每出来一个常数 C，就定一个常数；

常见可降阶形式

• 1. $y^{\prime\prime}=f(x)$；
• 举例：$y^{\prime\prime}=e^{x},\quad y^{\prime}=e^{x}+e_{1}\quad y=e^{x}+C_{1}x+C_{2}$
• 2. $y^{\prime\prime}=f(x,y^{\prime})$
• 方法：
• 令： ${y^{\prime}=P,y^{\prime\prime}=\frac{dP}{dx}}$
• 得到： $\frac{dp}{dx}=f(x,p)$ 关于 p、x 的一阶方程，然后进行分离变量；
• 举例：
• $\text{微分方程 }xy^{\prime\prime}+3y^{\prime}=0\text{ 的通解为}$
• 没有直接出现 y，所以为第二种方法；
• 得到：$y^{\prime}=p,y^{\prime\prime}=\frac{dp}{dx},x\frac{dp}{dx}+3p=0$ 此方程为一阶可分离方程；
• 3. $y"=f(y,y^{\prime})$
• 方法：
• 设： $y^{\prime}=P$、$y^{\prime\prime}=\frac{dp}{dy}P$；
• 变成只有 y、p，没有 x 的一阶方程，然后使用分离变量法；

1.2 高阶线性微分方程

总结

• 高阶线性微分方程；
• 包括：
• 高阶线性齐次微分方程；
• 高阶线性非齐次微分方程；
• 特点：
• 理论上有解，但是都没有通用的求解方法；
• 可以解的情况：
• 常系数齐次线性微分方程；

解的结构

• 二阶线性齐次微分方程：
• $$y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=0$$
• 二阶线性非齐次微分方程：
• $$y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=f(x)$$

定理： #二阶线性齐次微分方程的解

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：如果以 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关的的特解，那么：$$y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)$$

是二阶线性齐次微分方程的通解；

解释

• 独立微分方程的个数和阶数一致；

判断线性无关

• 如果 $\frac{y_{1}(x)}{y_{2}(x)}$ 不等于 C，则线性无关；

定理： #二阶线性非齐次微分方程的解

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：如果 $y^*$ 是二阶线性非齐次微分方程的一个特解，$y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关的特解，则：

$$y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)+y^{*}(x)$$

是非齐次微分方程的通解；

解释

• $$齐次通解+非齐次特解=非齐次通解$$

定理： #非齐次微分方程与齐次微分方程的解

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：如果 $y^_1(x)$ 和 $y^_2(x)$ 是非齐次微分方程的两个特解，则 $y(x)=$ $y^_1(x)$ + $y^_2(x)$ 是齐次微分方程的解；

定理： #非齐次微分方程的解关于非齐次项的叠加性

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：如果 $y^_1(x)$ 和 $y^_2(x)$ 分别是方程 $y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=f_{1}(x)\quad\quad y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=f_{2}(x)$ 的特解，则：

$$\dot{y_1}(x)+\dot{y_2}(x)$$ 是方程 $y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$ 的一个特解；