Lecture 18：高阶导数

1.1 多阶导数的定义

多阶导数的表示方法

$(y^{\prime})^{\prime}=y^2=\frac{d^2y}{dx^2}\quad\quad y^{m}\quad\quad y^{(4)}\quad\quad y^{(n)}=\frac{d^ny}{dx^n}$

定义： #高阶导数

<font color="#ccc1d9">描述： 具体点上，n 阶导数的定义：

定义 1：$f^{(n)}(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f^{(n-1)}(x_0+\Delta x)-f^{(n-1)}(x_0)}{\Delta x}$

定义 2：$f^{(n)}(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}$

解释

• 结论：
• 如果函数 $f(x)$ 在点 x 处 n 阶可导，则在点 x 的某邻域内 $f(x)$ 必定具有一切低于 n 阶的导数；
• 概念：
• 若 $f^{(n)}(x)$ 在区间 $I$ 上连续，称 $f(x)$ 在 $I$ 上 n 阶连续可导
• n 阶导函数存在，而且还是连续的；

1.2 常见求 n 阶导数

1.2.1 常见结论

常见求 n 阶导数

• 指数
• $(e^{x})^{(n)}=e^{x}$
• 三角函数
• $(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\frac\pi2)$
• $(\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\frac{\pi}{2})$
• In 函数
• $(\ln(1+x))^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}$
• 加法
• $(u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$
• 乘法
• 莱布尼茨公式
• ${(u\nu)^{(n)}}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(k)}v^{(n-k)}$

例题：$\text{设 }f(x)=\frac1{x^2-1}\text{,求 }f^{(n)}(x)$

思路：无法直接使用加法或者乘法公式，因此需要将分母分解因式，将其拆分：

• $\begin{aligned}f(x)&=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{2}\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right]\end{aligned}$

拆分完成后，使用加法的 n 阶导数：

• $f^{(n)}(x)=\frac12\left[(\frac1{x-1})^{(n)}-(\frac1{x+1})^{(n)}\right]$
• 然后先分析一个：$(\frac1{x-1})^{(n)}=(-1)^nn!(x-1)^{-(n+1)}$
• $f^{(n)}(x)=\frac{1}{2}\left[\frac{(-1)^{n}n!}{(x-1)^{n+1}}-\frac{(-1)^{n}n!}{(x+1)^{n+1}}\right].$

1.2.2 复合函数高阶求导

举例：比如求 $y=sin3x$ 的导数；

• 这其中的 sinx 有对应的高阶导数求导公式，但其中复合了 3 x；
• 此时可以将 u=3 x，然后利用复合函数求导法则，提出其中 u 导致的复合的部分，然后带入原本的高阶导数求导公式；

1.3 常考题型

题型： #高阶导数求导

PART 1：解题方法

基本思路

• 1. 有公式时，带入公式；
• 求 n 阶导函数 $f^{(n)}(x)$
• 2. 没有公式时，带入一阶、二阶导数，找一般规律；
• 求 n 阶导函数 $f^{(n)}(x)$
• 3. 使用泰勒公式展开
• 求具体点：$f^{(n)}(x_0)$ 在这一点展开泰勒

PART 2：典型例题

例题：$\text{设函数}\quad y=\frac1{2x+3},\quad\text{则 }y^{(n)}(0)=$？

• 分析
• 解析
• 方法一：找规律
• $\begin{aligned}&y^{\prime}=(-1)(2 x+3)^{-2}\cdot 2 \\&y^{\prime\prime}=(-1)(-2)(2 x+3)^{-3}\cdot 2^{2} \\&y^{(n)}=(-1)^{n}n! (2 x+3)^{-(n+1)}. 2^{n}\end{aligned}$
• 然后带入 0 点到 n 阶的导数；
• 方法二：用泰勒
• $f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots$
• 题型： #高阶导数求导