高等数学

微分学

一元函数微分学

函数
函数的概念
函数定义：

如果对于每个数 $x\in D$ ，变量 $x$ 按照一定的法则总有一个确定的 $y$ 和它对应，则称 $x$ 是 $y$ 的函数，记为 $y=f(x)$；常称 x 为自变量，$y$ 为因变量，$D$ 为定义域.

复合函数：

设 $y=f(u)$ 的定义域为 $D_f，u=g(x)$ 的定义域为 $D_g$ 、值域为 $R_{s}$ ；若 $D_f\cap R_g\neq\phi,\text{则称函数}y=f[g(x)]$ 为函数 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 的复合函数. 它的定义域为 $\left\{x|x\in D_g,g(x)\in D_f\right\}$

反函数：

设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 ${D}$, 值域为 $\underline{R}_{\underline{\nu}}$.若对任意 $y\in R_y$ ,有唯一确定的 $x\in D$ ,使得 $y=f(x)$,则记为 $x=f^{-1}(y)$ 称其为函数 $y=f(x)$ 的反函数

函数的性质
单调性
奇偶性：
常见奇函数：$\sin x,\tan x,\arcsin x,\arctan x,\ln\frac{1-x}{1+x},{\ln(x+\sqrt{1+x^2})},\frac{e^x-1}{e^x+1},$$f(-x)=-f(x)$
常见偶函数：$x^2,|x|,\cos x,f(x)=f(-x)$
周期性
有界性
极限
极限的性质
数列极限性质
有界性：$\text{如果数列 }\left\{x_n\right\}\text{收敛,那么数列 }\left\{x_n\right\}\text{一定有界}$
保号性；
函数极限性质
局部有界性：$\text{若 }\lim_{x\to x_0}f(x)\text{ 存在,则 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 某去心邻域}$
保号性
函数极限
函数趋向于无限值
函数与无穷：

$\lim_{x \to \infty}f(x) = A \Leftrightarrow \forall \xi >0,\exists X>0,\lvert x \rvert >X \ \mbox{时有},\lvert f(x) - A\rvert < \xi$

函数趋向于负无穷：

$\lim_{x\to-\infty}f(x)=A$： $\forall\boldsymbol{\varepsilon}>\boldsymbol{0},\exists\boldsymbol{X}>\boldsymbol{0},\boldsymbol{当}x<\boldsymbol{-X}\text{时,恒有}|f(x)-A|<\varepsilon.$

函数趋向于正无穷：

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$： $\forall\boldsymbol{\varepsilon}>\boldsymbol{0},\exists\boldsymbol{X}>\boldsymbol{0},\boldsymbol{当}x>\boldsymbol{X}\text{时,恒有}|f(x)-A|<\varepsilon.$

函数趋向于有限值
${\lim_{x\to x_0}f(x)=A}$，$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\text{,当 }0<|x-x_0|<\delta\text{ 时,恒有 }|f(x)-A|<\varepsilon.$
单侧极限
左极限：$\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x) = A \Leftrightarrow\begin{cases} \hspace{1em} \forall \xi >0,\exists \delta>0,x_{0}-\delta <x<x_{0} \ \mbox{时有},\\ \hspace{1em} \lvert f(x) - A\rvert < \xi \\ \end{cases}$
右极限：$\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x) = A \Leftrightarrow\begin{cases} \hspace{1em} \forall \xi >0,\exists \delta>0,x_{0}<x<x_{0}+\delta \ \mbox{时有},\\ \hspace{1em} \lvert f(x) - A\rvert < \xi \\ \end{cases}$
极限与单侧极限关系：

$\lim_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A$

数列极限
数列极限的定义：

对 $\lim_{n\to\infty}x_n=a$ 而言：$\forall\varepsilon>0,\exists N>0,\text{ 当 }n>N\text{ 时, 恒有 }|x_n-a|<\varepsilon$

数列极限存在准则：

$\text{若存在 }N,\text{当 }n>N\text{ 时, }x_n\leq y_n\leq z_n$，$\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}z_n=a,\text{则}\lim_{n\to\infty}y_n=a$

求极限
求极限八种方法
无穷大与无穷小
无穷小
无穷小的定义：若函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0($ 或 $x\to\infty)$ 时的极限为零，则称 $f(x)$ 为 $x\to x_0($ 或 $x\to\infty)$ 时的无穷小量.
无穷小的比较：
同阶无穷小： $\alpha(x)和\beta(x)$ 相除结果为常数 C（C 不等于 0）；
等价无穷小： $\alpha(x)和\beta(x)$ 相除结果为常数 1；
高阶无穷小： $\alpha(x)和\beta(x)$ 相除结果为 0；可记为：$\alpha(x)=o(\beta(x))$
低阶无穷小： $\alpha(x)和\beta(x)$ 相除结果为无穷；
$\text{若}\lim\frac{\alpha (x)^{\color{red}{}}}{\left[\beta (x)\right]^{k}\color{red}}=C\neq 0,\text{称}$ α为β的 k 阶无穷小；
无穷小的性质：
性质 1： 有限个无穷小的和仍然是无穷小；
性质 2： 有限个无穷小的积仍然是无穷小；
性质 3： 无穷小量与有界量的积任然是无穷小；
无穷大
无穷大的定义：

若函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0($ 或 $x\to\infty)$ 时的极限无穷，则称 $f(x)$ 为 $x\to x_0($ 或 $x\to\infty)$ 时的无穷大量.

无穷大的性质：
性质 1： 有限个正无穷大的和是无穷大；
性质 2： 有限个无穷大的积仍然是无穷大；
性质 3： 无穷大量与有界变量的和仍然是无穷大量；
连续
连续的定义
左连续
右连续
定义：

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个邻域内有定义，如果当 $x\to x_0$ 时，函数 $y=f(x)$ 的极限值存在，且等于 $x_{0}$ 处的函数值 $f(x_0)$ , 即 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$, 则称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续.

连续性的性质
闭区间上连续性的函数性质：
有界性：$\text{若 f(x) 在 [a,b]上连续,则 f(x) 在 [a,b]上有界。}$
最值定理：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必有最大值和最小值；
介值定理：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\neq f(b)$,则对 $f(a)$ 与 $f(b)$ 中 $\text{之间任一数}\mathbf{C},\text{ 至少存在一个 }\xi\in(a,b),\text{ 使得 }f(\xi){=}C.$
零点定理
连续性的运算性质
间断点
间断点的定义：
几类间断点
导数
导数的定义
什么是导数
左导数与右导数
导函数的几何意义
导数求导法则
和差积商求导法则
反函数求导法则
复合函数求导法则
求导常用结论
对数求导法
高阶导数
高阶导数的定义
常见求高阶导数公式
隐函数
参数方程
导数应用
函数单调性的判读
凹凸性的判断
拐点
函数的极值与最值
渐近线
水平渐近线
垂直渐近线
新节点
微分
微分的定义：
$\text{若 }f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)\text{ ，则称 }f(x)$ $在 x _0点可微；$
可微、可导、连续之间关系
微分中值定理
罗尔定理：
若满足三个条件：
1）$f$ 在 $[a,b]$ 上连续；
2）$f$ 在 $(a,b)$ 内可导；
3）f (a)=f (b)
则可知：$\text{则 }\exists\xi\in(a,b)\text{,使 }f^{\prime}(\xi)=0$
推导结论：有一点的切线，和 ab 两点的连线平行 -> 拉格朗日定理；
拉格朗日中值定理：
若满足以下几个条件： 1）$f$ 在 $[a,b]$ 上连续 2）$f$ 在 ($a,b)$ 内可导；
则：$\text{可得 }\exists\xi\in(a,b)\text{,使 }f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$
柯西中值定理：
若满足以下条件：
1）$f,F\text{ 在 }[a,b]\text{上连续};$
2）$f,F\text{ 在 }(a,b)\text{ 内可导,且 }\forall x\in(a,b),F^{\prime}(x)\neq0$
则：$\exists\xi\in(a,b)\text{ ,使 }\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}$

多元函数微分学

多元函数基本概念
多元函数的极限
多元函数的连续
偏导数
偏导数的定义
偏导数的几何意义
高阶偏导数
全微分
全微分的定义
多元函数可微分的必要条件
多元函数可微分的充分条件
多元函数分析
可微、可导、连续、偏导连续的判断
可微、可导、连续、偏导连续之间关系
多元函数微分法
多元复合函数微分
多元复合函数求导法则
全微分形式不变性
多元隐函数微分
多元函数隐函数定义
多元函数隐函数存在定理
多元函数的极值与最值
多元函数极值定义
多元函数极值存在的必要条件
无条件极值
有条件极值
拉格朗日乘数法
条件极值定义

积分学

一元函数积分学

不定积分
不定积分的概念
不定积分的定义：

一个函数 $f(x)$ 的不定积分（或者说是原函数）是一个导数等于 $f(x)$ 的函数 $F(x)$ ，即 F′(x) = f (x)，或写成 $[F (x)+c]^{\prime}=f (x)$

或者：$\int f(x)dx=F(x)+C$

原函数存在性：
不定积分基本性质
$(\int f(x)\mathrm{d}x)^{\prime}=f(x)$
$\mathrm{d}\int f(x)\mathrm{d}x=f(x)\mathrm{d}x$
不定积分的计算
基本公式
第一类换元法
第二类换元法
分部积分法
定积分
定积分的概念
定积分的定义：

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，在 $[a,b]$ 上任意插入分点，分成 n 个小区间 $\Delta x_{1}\Delta x_{2}\cdots\Delta x_{n}$ ，任取一点 i，有：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{λ\to0}\sum_{x=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}$$

其中：$$\lambda=\max\{\Delta x_{1}\cdots\Delta x_{n}\}$$
微积分基本定理
定积分的计算
牛顿-莱布尼茨公式
定积分的换元法
定积分的分部积分法
定积分性质
变上限积分
方法一：公式计算
方法二：提取x
方法三：换元法
反常积分
反常积分的定义
两类反常积分
无穷区间上的反常积分
无穷函数上的反常积分
判断反常积分的敛散性
方法一：定义法
方法二：比较判别法
方法三：P积分
定积分的应用
平面图形的面积
旋转体的体积
平面曲线的弧长
旋转体侧面积
新节点

多元函数积分学

重积分
二重积分
二重积分的定义
二重积分的性质
二重积分的计算
基于直角坐标系的二重积分计算
基于极坐标系的二重积分计算
利用奇偶性、对称性
三重积分
线面积分
线积分
面积分
积分应用

微分方程

一阶微分方程

可分离变量
一阶齐次方程
一阶线性方程

二阶微分方程

二阶常系数齐次微分方程
二阶常系数非齐次微分方程

高阶微分方程

可降阶线性微分方程
高阶微分方程概念

无穷级数

常数项级数

基础概念
常数项级数的定义
常数项级数收敛的定义：$\lim_{n\to+\infty}S_{n}=\sum_{n=1}^\infty u_n$
级数基本性质
同号级数
正项级数
正项级数收敛性：$\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 收敛}\Leftrightarrow s_n\text{ 上有界}$
比较审敛法
比较法的极限形式
比值法
根值法
积分判别法
变号级数
交错级数
交错级数定义：$\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n,u_n>0$
莱布尼茨准则
任意项级数
绝对收敛与条件收敛概念
任意项级数收敛性判断

幂级数

幂级数基础概念
幂级数的定义
$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots$
幂级数的收敛性
收敛点与发散点的概念
阿贝尔定理
收敛区间
收敛域
收敛半径
收敛半径判断法一：极限比值
收敛半径判断法二：基于根式
幂级数的运算
有理运算性质
分析性质
函数展开成幂级数
基础概念
函数的幂级数展开
泰勒级数的收敛性
函数展开为幂级数
直接展开法
间接展开法
常见展开

傅里叶级数

傅里叶级数基础概念
傅里叶系数
傅里叶级数
收敛性
狄利克雷定理
函数展开为傅里叶级数
周期函数的展开：特殊情况
周期函数的展开：一般情况

高等数学 - 思维导图