Chapter 4：不定积分

4.1 不定积分基础

4.1.1 基础概念

性质 1：

$(\int f(x)\mathrm{d}x)^{\prime}=f(x)$
$\mathrm{d}\int f(x)\mathrm{d}x=f(x)\mathrm{d}x$

性质 2：

$\int f^{\prime}(x)\operatorname{d}x=f(x)+C$
$\int\operatorname{d}f(x)=f(x)+C$

性质 3：

$\int[f(x)\pm g(x)]\operatorname{d}x=\int f(x)\operatorname{d}x\pm\int g(x)\operatorname{d}x$

性质 4：

$\int kf(x)\operatorname{d}x=k\int f(x)\operatorname{d}x$

4.1.2 基础公式

基础公式

$$1、\int adx=ax+C\:,\:a是常数$$

$$2、\int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C，其中 a 为常数，且 a\neq-1$$

$$3、\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$

$$4、\int e^{x}dx=e^{x}+C$$

$$5、\int a^{x}dx=\frac{1}{\ln a}a^{x}+C;其中a>0\:,\:且a\neq1$$

$$6、\int\sin xdx=-\cos x+C$$

$$7、\int\cos xdx=\sin x+C$$

$$8、\int\sec^{2}xdx=\tan x+C$$

$$9、\int\csc^{2}xdx=-\cot x+C$$

$$10、\int\tan xdx=-\ln|\cos x|+C$$

$$11、\int\cot xdx=\ln\lvert\sin x\rvert+C$$

$$12、\int\sec xdx=\ln\lvert\sec x+\tan x\rvert+C$$

$$13、\int\csc xdx=-\ln\lvert\csc x+\cot x\rvert+C$$

$$14、\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$$

$$15、\int\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac xa+C$$

$$16、\int\frac1{x^2-a^2}dx=\frac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$$

$$17、\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$$

$$18、 \int\frac 1{a^2+x^2}dx=\frac 1 a\arctan\frac xa+C$$

$$19、\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C$$

$$20、\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right.|+C$$

三角函数合集

常见三角函数积分

和求导一一对应：
$$\int\sin xdx=-\cos x+C、\int\cos xdx=\sin x+C$$
$$\int\tan xdx=-\ln|\cos x|+C、\int\cot xdx=\ln\lvert\sin x\rvert+C$$
$$\int\sec xdx=\ln\lvert\sec x+\tan x\rvert+C、\int\csc xdx=-\ln\lvert\csc x+\cot x\rvert+C$$
$$\int\sec^{2}xdx=\tan x+C、\int\csc^{2}xdx=-\cot x+C$$
$$\int\tan x secx=\sec x+C、\int{\cot x\,\csc x}\,dx=-csc x+C$$

常见反三角函数积分

$$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$$
$$\int\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac xa+C$$
$$\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$$
$$\int\frac 1{a^2+x^2}dx=\frac 1 a\arctan\frac xa+C$$

4.2 不定积分求解

4.2.1 方法一：第一类换元积分法

第一类换元积分法

定义：
又称作凑微分法；
若 $\int f(u)\mathrm{d}u=F(u)+C$，$\text{则}\int f[\varphi(x)]\varphi^{\prime}(x)\operatorname{d}x=\int f[\varphi(x)]\operatorname{d}\varphi(x)=F[\varphi(x)]+C$

凑微分形式总结：常见函数

1. $$\int f( ax+ b) dx= \frac 1a\int f( ax+ b)d( ax+ b)$$
2. $$\int x^mf( ax^{m+ 1}+ b)dx=\frac 1{( m+ 1) a}\int f( ax^{m+ 1}+ b)d(ax^{m+1}+ b)\quad\quad\quad ( m\neq- 1) $$
3. $$\int f( \sqrt {x}) \frac {\mathrm{d} x}{\sqrt {x}}= 2\int f( \sqrt {x})d( \sqrt x)$$
4. $$\int f( e^x) \mathrm{e} ^xdx= \int f( \mathrm{e} ^x)d(\mathrm{e} ^x)$$
5. $$\int f(\ln x)\:\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\int f(\ln x)\mathrm{d}(\ln x)$$

凑微分形式总结：常见三角函数

1. $$\int f(\sin x)\cos\:x\mathrm{d}x=\int f(\sin x)\mathrm{d}(\sin x)$$
2. $${\int}f(\cos x)\sin x\mathrm{d}x=-{\int}f(\cos x)\mathrm{d}(\cos x)$$
3. $$\int f(\tan x)\:\frac{1}{\cos^{2}x}\mathrm{d}x=\int f(\tan x)\mathrm{d}(\tan x)$$
4. $${\int}f(\arcsin x)\:\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\int f(\arcsin x)\mathrm{d}(\arcsin x)$$
5. $${\int}f(\arctan x)\:\frac1{1+x^2}\mathrm{d}x=\int f(\arctan x)\mathrm{d}(\arctan x)$$

4.2.2 方法二：第二类换元积分法

第二类换元积分法

定义：
$$\int f(x)\mathrm{d}x=\int f[\varphi(t)]\varphi^{\prime}(t)\mathrm{d}t=F(t)+C=F[\varphi^{-1}(x)]+C$$
方法：
关键是变量代换的选取 -> 把 x 带换掉了，带换成其他函数 -> 做出结果后，还要用反函数带回去；

形式总结

以下三种形式：$$\begin{aligned}&\sqrt{a^2-x^2} \\&\sqrt{a^2+x^2} \\&\sqrt{x^2-a^2}\end{aligned}$$
分别可以使用以下三种形式的 x 来带入，进而消掉根号：$$\begin{aligned}x&=a\sin t(a\cos t)\\\\x&=a\tan t\\\\x&=a\sec t\end{aligned}$$

目的：把根号可以去掉；

4.2.3 方法三：分部积分法

分部积分法

定义：
设 $u(x),\nu(x)$ 有连续一阶导数，则 $\int udv=uv-\int vdu$
方法：
适用于两类不同函数相乘；

使用场合

多项函数 × 指数|三角：
1. $\int p_n(x)e^{ax}\operatorname{d}x$
凑指数
2. $\int p_n(x)\sin ax\operatorname{d}x$
凑三角
3. $\int p_n(x)\cos axdx$
凑三角
多项函数 × 对数|反三角：
4. $\int P_n(x)\ln xdx$
凑多项式
5. $\int P_n(x)\arctan xdx$
凑多项式
6. $\int P_n(x)\arcsin xdx$
凑多项式
指数 × 三角
7. $\int e^{\alpha x}\sin\beta xdx$
凑谁都行
8. $\int e^{\alpha x}\cos\beta xdx$
凑谁都行