03 可导、连续、可微之间关系

图文总结

此笔记原本由 Obsidian Excalidraw 图组成。网页保留原图中的文字要点与全部嵌入图像；原始 Excalidraw 布局未改写为文字推导。

原始 Excalidraw 画布

原图文字要点

• 什么是导数
• · 指函数在某一点处变化的快慢,是一种变化率
• · 定义：
• 什么是微分
• · 是指函数在某一点处（趋近于无穷小）的变化量，是一种变化的量
• · 定义：
• 什么是连续
• · 从图像上看就是函数图像不间断，严格的数学语言就是：
• 在一点上的极限值就等于它的函数值
• · 定义：
• 可导一定连续
• 因为根据导数定义：
• 当x和x0大小趋向于一致时，分母极限为0，如果导数极限想要存在，
• 则分子极限也需要为0.所以有这一点的Lim有f(x)=f(x0)，即
• 表示这一点连续；
• 若曲线光滑渐变 (可导) , 其必然没有断开 (连续)
• 但曲线没有断开 (连续) , 其不一定是光滑渐变的
• (例如光进入另一介质的那种偏折)
• 连续不一定可导
• 可导
• 可微
• · dy = k * dx , 若有dy，就称可微
• 因为微分当中：dy = k * dx
• 如果可导，则dy/dx = k
• 所以可导一定可微分
• 可导一定可微
• 因为微分当中：dy = k * dx
• 当微分存在时，dy存在，因此
• · dy/dx = k 当中的k存在
• 所以可微一定可导
• 可微一定可导
• 因为微分当中：dy = k * dx
• 当微分存在时，dy存在，因此：dy/dx = k 中k存在
• 连续当中，如果dx趋向于0时，dy趋向于0，则表示连续
• 因为dy = k * dx中dx为无穷小，k为确定值，所以dy趋向于0
• 即可微一定可导
• 可微一定连续
• 连续存在时：dx趋向于0，dy趋向于0
• 即dy = 0，若dy值等0，就称连续
• 但
• 连续不一定可微
• 不能推出它们的比值为K

原图素材