Lecture 6：知识 - 整数的表示与运算

描述：整数题的核心是“同一位模式、不同解释”。有符号整数通常按补码解释，无符号整数把全部位当数值位；类型转换往往不改低位位串，只改变保留、扩展或解释方式。

2.1 无符号与有符号整数

类型	编码	$n$ 位范围	常见用途
无符号整数	全部位均为数值位，默认非负	$0\sim2^n-1$	地址值、位掩码、对象大小及只产生非负值的计数
有符号整数	最高位参与符号，实际采用补码	$-2^{n-1}\sim2^{n-1}-1$	普通整数运算

类型（常见实现）	典型宽度	默认符号	说明
`char`	8 bit / 1 B	平台相关，题设若指定按其执行	用于字符或最小整数单位
`short` / `short int`	16 bit / 2 B	`signed`	短整型
`int`	32 bit / 4 B	`signed`	常用整型
`long` / `long int`	32 或 64 bit	`signed`	依 ABI 与平台变化
`unsigned short/int/long`	对应类型宽度	`unsigned`	全部位解释为数值位

在本讲默认的同字长、二进制补码机器模型中，有符号数转对应无符号类型通常表现为“位模式不变，只改变解释方式”。例如：

short x = -4321;
unsigned short y = (unsigned short)x;  // y = 61215

x 的 16 位补码不变，作为无符号数解释即为 $2^{16}-4321=61215$。

从 C 语言的值语义看，有符号转无符号按模 $2^n$ 得到同余值；在补码机器上通常对应相同位串。反向把超出有符号范围的无符号值转成有符号类型时，结果依语言版本和实现规则处理，不能无条件概括为“只改解释”。
有符号与无符号数混合参与同一运算时，必须按 C 的具体整数提升与通常算术转换规则分析；当同等转换等级下无符号类型主导时，结果会按无符号语义解释。做 408 题需以题目给定的类型宽度和转换规则为准。
不要先把负数“改成正数”再算；应先确定参与运算时每个操作数提升/转换后的位宽和类型。

小字长向大字长的目标是尽量保持原数值：正数补 0，补码负数补 1。对无符号数，原最高位是数值位，故必须零扩展。
C 语言中，超出目标范围的有符号窄化转换不应无条件写成“保留低位”：其结果可能由实现定义；无符号目标则按模 $2^k$ 规则确定。408 若明确采用固定补码截断模型，再按题设保留低位。
例如题设规定 char 为 8 位无符号数时，char -> int 应在高位补 0；若题设规定 char 是 signed，则应按符号扩展。
在题设明确采用固定补码位串重解释的机器模型中，同宽有符号/无符号转换可只改变位串的解释；若位宽扩大，先按源类型规则完成零扩展或符号扩展，再按目标类型解释。C 语言的有符号转无符号按模 $2^n$ 确定；反向转换若数值超出目标有符号范围，不能不加前提地视为必然重解释。

写出源值在源字长下的完整二进制位串；负数必须先写补码。
判断是同宽重解释、缩窄截断，还是拓宽扩展。不要因目标类型为无符号就错误地给源负数“取绝对值”。
拓宽时先看源类型：无符号零扩展，有符号补码符号扩展；缩窄时，只有题设采用固定补码截断模型或目标为无符号类型，才可直接按保留低位计算。目标为有符号类型且结果超出范围时，还需按语言或题设规则判断。
最后按目标类型解释保留下来的位串，并检查后续表达式是否还会触发整数提升或有/无符号混合转换。

当运算的实际类型确为 $n$ 位无符号类型时，其结果按模 $2^n$ 定义；例如无符号 $0-1$ 得到 $2^n-1$。但 uint8_t、uint16_t 等窄类型在 C 表达式中常先提升为 int，要在赋值或强制转换回窄类型时才发生相应截断。
对有符号数，数学结果超出范围属于有符号溢出语义，不能因为硬件同样产生回绕位串就把它直接当作语言层面合法结果。
底层地址值、对象大小和位掩码常用无符号整数表示；C 指针本身是独立的指针类型，不应简单等同于无符号整数。指针差值使用 ptrdiff_t，边界与长度常涉及 size_t，需按具体类型分析。
题中出现十六进制常量时，先按位写出再转换最稳妥：每个十六进制数码对应 4 位，避免在十进制与二进制之间反复心算导致漏位。

$n$ 位无符号数范围为 $[0,2^n-1]$，有符号补码整数范围为 $[-2^{n-1},2^{n-1}-1]$。
同一位串可表示不同数值；转换题先定目标类型和位宽，再判断是重解释、截断、零扩展还是符号扩展。
固定补码截断模型下，大转小保留低位；小转大时，无符号零扩展、有符号补码符号扩展。C 语言有符号窄化越界另依转换规则判断；char 的符号性必须看题设/平台。
C 的混合有/无符号运算需先按类型提升与转换规则处理，不能只凭数学直觉判断。